莫比乌斯反演函数

原理：

公式如下：
F(n) f(n) 为定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足F(n)=∑d|nf(d)，可以得到结论
f(n)=∑d|nu(d)F(nd)
上面公式中出现的函数u(d)为莫比乌斯函数，具有如下性质

u(d)=⎧⎩⎨1,−1,0,如果 d 是偶数个不同素数之积如果 d 是奇数个不同素数之积其他，即存在因数pak,a>1,p为素数

例如，因为30=2∗3∗5 所以u(30)=−1 又因为121=112 ，则有u(121)=0

对于u(d)有如下性质

∑d|nu(d)={1,0,if n=1if n>1 

证明略(可以参考组合数学的教材）

对于任意整数n

∑d|nu(d)d=φ(n)n

证明略

获取莫比乌斯函数结果的代码为

const ll maxn=100001;ll mu[maxn],prime[maxn],mark[maxn];void Mobius(){    mu[1]=1;    for(int i=2;i<maxn;i++)    {        if(!mark[i]){prime[++*prime]=i;mu[i]=-1;}        for(int j=1;i*prime[j]<maxn;j++)        {            mark[i*prime[j]]=1;            if(i%prime[j]==0)break;            mu[i*prime[j]]=-mu[i];        }    }}

时间复杂度为O(n)

反演公式证明（latex写不动了=_=）
来自ppt

其中推到f(n)的 第一步是把F(nd) 代入到F(n)=∑d|nf(d)当中 ,第二步是利用∑公式的性质，交换下标得到的。

参考博客