压缩矩阵CRS & CCS

  在用python便编写推荐相关算法时，用到了scipy中的sparse matrix来存储相似矩阵或评分数据。本文是对行压缩与列压缩ccs的总结，因为二者原理是一致的，所以只总结crs的原理。

Compressed Row Storage (CRS)

  一般，我们要取矩阵中的一个值 val 需要知道其行索引 row_ind 和列索引col_ind，假设矩阵中非0值为nnz个，需要3nnz的空间存储row_ind、col_ind和val。CRS，顾名思义，就是对列索引row_ind进行了压缩。
如下所示，三个列表值索引了整个稀疏矩阵，其中行索引压缩为行指针，它存储了矩阵每一行在 val 中开始的位置。

项 含义 val 非0值列表 col_ind 列索引列表 row_ptr 行指针列表

下面举一个具体的例子，假设有矩阵A如下：

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1030300097084008800007790−200592030013−1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

将矩阵A转为CRS格式，如下(索引下标从1开始)：

⎡⎣⎢⎢valcol_indrow_ptr1011−2533169293613⋯⋯17422025−16⎤⎦⎥⎥

  可以看到 row_ptr明显短于另外两个列表，因为它只需要n+1的空间，n表示矩阵行数。这里解释一下row_ind中的值，假设val(k)=A[i,j]，那么row_ptr(i)⩽val(k)<row_ptr(i)。

  比如，我们要取值A[2,1]，因为row_ptr[2]=3，row_ptr[3]=6，索引范围锁定在[3，6）之间，因为col_ind[3]=1，所以val[3]=3就是我们要取的值，可以看出get操作的时间复杂度是大于O(1)的。

  但是这就是所谓的空间换时间吗？并不是。在scipy的稀疏矩阵库的使用过程中，可以感受到每种压缩方式都有各自的优缺点。行压缩和列压缩方式的矩阵算术操作效率很高，从数据结构中我们也可以看到，CRS可以很方便地锁定单行的范围。例如在计算itemcf相似矩阵的时候，需要获取用户u的物品列表，使用CRS的效率会非常高。

参考

scipy sparse matrix
Compressed Row Storage
Compressed Column Storage