扩展欧几里德总结

来源:互联网 发布:ui设计网站知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/06/16 03:43

扩展欧几里德总结

对算法的理解:

给定一个ax+by==gcd(a,b)式子,当a,b不全为0的时候比存在一组解x,y。扩展欧几里得就是求一组x,y的过程。

算法主体:

int gcd(int a,int bint&x,int &y)
{
   
int t,d;
   
if(b==0)
   
{
        x=1;
       
y=0;  //不明处1
return a;
   
}
    d=gcd(b,a%b);
    t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;  //不明处2
return d;
}

不明处1由扩展欧几里得定理:ax+by==gcd(a,b)---1,而此时b==0,也就是说gcd(a,0)==a。原式变为ax+by==a -->x==1,y==0。应该够清楚了吧

不明处2:这里先说明一下我的一些规则,x,y表示第一次递归时的值,x1,y1表示第二次递归时的值。那么

gcd(a,b)==gcd(b,a%b),同时都代入式1,有ax+by==b*x1+(a%b)*y1。将右边变形一下

b*x1+(a%b)*y1==b*x1+(a-(a/b)*b)*y1==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1),最终得到ax+by==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)

也就是说,上一深度的x等于下一深度的y1,上一深度的y等于下一深度的x1-(a/b)*y1   需要注意,上面推导时用的除法都是整型除法

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