Link Cut Tree学习小记

LCT

LCT几个月前就学了，花了我一整天问Alan_cty才搞会

LCT的左右就是维护树上的一些值，和树链剖分有相同的作用，也有超过树链剖分的作用
LCT也就是动态树，意思就是树是会动的，也就是有连边和删边两个操作

和链剖一样，边可以分为两种，重边（偏爱边）和轻边。一条重边连起来的是一条链，在同一棵splay中（也就是说有好多棵splay）
这样就会有两种树，我称之为原树和splay
splay中左子树都比当前点在原树中浅，右子树则都比当前点在原树中深
定义：
fa[x]表示x在splay中的父亲，没有就是0
p[x]为x在原树中的轻边父亲(Path Parent)，若没有或原树中x与它父亲的边为重边则为0
root为原树的根

如在上左图中，p[D]=B，而p[E]=0

操作access

access(x)表示将x到root之间的所有边变成重边，也就是把这些点放到同一棵splay中
注意一点，如上图中access(N)之后，原来A和B是重边，变成了轻边，这是因为一个点与所有儿子中只能有一条重边

Code
t[x][0/1]为splay中x的左/右子树

void access(int x){    int y=0;    while(x>0)    {        splay(x,0);        fa[t[x][1]]=0,p[t[x][1]]=x;        t[x][1]=y,fa[y]=x;        p[y]=0;        update(x);        y=x,x=p[x];    }}

splay(x,y)就是在splay中将x旋转到y的下面
结合代码和图片再画一下图，应该可以理解

这个操作是LCT的核心
这个理解了，就相当于理解了LCT

注意：splay中的rotate操作在LCT中略微有点不同，因为有p[]这个数组，所以rotate在旋转的时候也要考虑到p[]
Code

bool lr(int x){return x==t[fa[x]][1];}void rotate(int x){    int y=fa[x],k=lr(x);    t[y][k]=t[x][1-k];    if(t[x][1-k]) fa[t[x][1-k]]=y;    fa[x]=fa[y];    if(fa[y]) t[fa[y]][lr(y)]=x;    else p[x]=p[y],p[y]=0;//p[]的转移，做题时很容易漏    t[x][1-k]=y;fa[y]=x;    update(y);update(x);}void splay(int x,int y){    //我没打下传lazy，这里自行脑补上下传lazy操作    while(fa[x]!=y)    {        if(fa[fa[x]]!=y)            if(lr(x)==lr(fa[x])) rotate(fa[x]);            else rotate(x);        rotate(x);    }}

操作makeroot

makeroot(x)表示把x变成原树的root
代码：

void makeroot(int x){    access(x);splay(x,0);rev[x]^=1;}

rev为翻转标记
access(x)之后，x所在的splay中就有且只有x到root上的所有点，此时x在最深处
将splay旋转之后x就变成了最浅的点，也就是root
当splay被破坏或者被修改时，这个翻转会以p[]传到原树中，所以是正确的

这个是LCT操作中很重要的一个

接下来的操作就是用来玩的了

操作link

代码

void link(int x,int y){    makeroot(x);p[x]=y;}

很好理解吧？将x和y连边（保证原来没边，连之后不形成环）
把x变成原树的根，将x的轻边父亲变成y

操作cut

代码

void cut(int x,int y){    makeroot(x);access(y);    splay(y,0);    t[y][0]=0;fa[x]=p[x]=0;    update(y);}

这个高级一点
切掉x和y之间的连边（保证原来有边）
在makeroot和access后，splay就只有x和y两个点，断掉之间的边，维护好fa[]和p[]即可

点的询问/修改操作

当要修改或查询原树中x到y路径上的点时：

makeroot(x);access(y);splay(x,0);

这样之后，splay中x就代表了x到y路径

边的询问/修改操作

因为维护的数据都在点上，所以维护边的值时，要多开一个点，代表边的值，并与原来边相连的两个点连边，之后与上面点的修改查询一样

例题

最简单的：
洛谷和BZOJ中有 [Hnoi2010]Bounce 弹飞绵羊
就只用link，cut，查询树的大小
我的详细题解请点击这里

稍复杂的：
很多OJ都有 【NOI2014】魔法森林
我的详细题解请点击这里

更难一点的：
【GDSOI2017】中学生数据结构题
我的详细题解请点击这里

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