莫队算法讲解 （详尽版）

莫队算法我早有耳闻。。可惜前不久才去学习。

但是自己看了看论文，也就1h左右，就能够全部理解了。

也就是说其实这个算法不难。。

好了，让我们进入正题。

我们首先来看一道例题：

Description

    有n个数字，给出k，以及m个查询。

    每次查询的格式是L，r，求L~r（左右包含）这个区间内数字的出现次数刚好是k的数字种数。

    范围：n<=30000，k<=n，m<=30000，1<=L<r<=n，数列中元素大小<=n。

    输入n，k，m，然后n个元素，然后m行查询，对于每一个询问，输出正确的答案。

Example input：

5 2 3

1 2 3 2 2

1 2

2 4

1 5

Example output：

0     //没有

1     //2

0     //没有（2太多了，也不算）

我们来考虑一下这题的解法。

首先肯定可以万能暴力，每次L~r枚举。时间复杂度O（N*M）。

但是这样的暴力是没有前途的！我们来考虑一下新的暴力：

一开始指针区间0->0，然后对于一个查询，我们将Left指针逐步更新成新的L，Right同理。

比如一开始Left=2，Right=3，而L=1,r=5。

那么我们Left-1，并且把Left位置上的数字出现次数+1.

Right+1，把Right位置上的数字出现次数+1，直到Right=5为止。

框架：

add(x){  //把x位置的数字加入进来    cnt[x]++;    if (cnt[x]==k) ans++;}remove(x){  //把x位置的数字移出去    cnt[x]--;    if (cnt[x]==k-1) ans--;}

然后以上面题目为例；这种方法需要离线处理，我们同理来看一下解法：

Left=Right=1; add(1);ans=0;for u=1 to m{    while (Left<L[u]){  remove(Left); Left++;}    while (Left>L[u]){  Left--; add(Left);}    while (Right<r[u]){  Right++; add(Right};}    while (Right>r[u]){  remove(Right); Right--;}    output ans;}

这里说明一下，其实remove(Left);Left--;等等可以直接写成remove(Left--)等等，我这么写是为了理解。

分析一下时间复杂度，我们可以从Left和Right的移动量来分析：

每一个新的询问，Left和Right的移动量最大都会是O（N）

所以这样子的方法时间复杂度仍然是O（N*M），而且可能比上面的暴力更慢。

但是莫队算法的核心，就是从这么一个算法转变过来的。

现在来介绍一下莫队算法解决这道题:

对询问进行分块，我们知道m个询问，L和r的范围都在n以内，我们根据L和r的大小来对询问分块。

比如n=9，有以下的询问：

2 3

1 4

4 5

1 6

7 9

8 9

5 8

6 8

对于n=9，我们以根号n为每个块block的大小，这里block=3.

那么我们把1~3分成一组，4~6，7~9.

对于每一个询问（L，r），我们以L的范围来决定这个询问在哪一个块。

然后每一个独自的块内，我们让询问r更小的排在更前面。

那么上面的询问就可以分组成：

(2,3)/(1,4)/(1,6)和

(4,5)/(5,8)/(6,8)和

(7,9)/(8,9)

这一步的排序操作，我们可以在排序的时候加入判断条件cmp：

bool cmp(Query x,Query y){    if ((x/block)!=(y/block))        return x.L<y.L;        //不同块的时候    return x.r<y.r;      //同一块的时候}

排序之后，我们再来分析一下时间复杂度；接下来我们会看到神奇的事情！！

刚才分析此方法的时候，我们是从L和R的偏移量分析的；我们仍然用这种方法来分析。

考虑一下在同一个块的时候。由于L的范围是确定的，所以每次L的偏移量是O（√N）

但是r的范围没有确定；r的偏移量是O（N）。

那么从一个块到另一个块呢?

明显地，r我们不需要作考虑，仍然是O（N）。

而L明显最多也是2*√N，而且这种情况下，很快就会到下下一块。所以也是O（√N）

由于有√N（根号N）个块，所以r的总偏移量是O（N*√N）

而M个询问，每个询问都可以让L偏移O（√N），所以L的总偏移量O（M*√N）

注意了，时间复杂度分析的时候一定要注意，r的偏移量和询问数目是没有直接关系的。

而L则恰恰相反；L的偏移量我们刚才也说明了，它和块的个数没有直接关系。

所以总的时间复杂度是：

O（(N+M)*√N）

很神奇地看到了，我们仅仅改变了一下问题求解的次序，就让时间复杂度大幅度下降！

当然在这个说明过程中我们也看到了，事实上，莫队是一个必须离线的算法。

意味着一些题目如果强制在线，那么莫队就无能为力了。

代码就不总结了，可以看上面的分块的地方，也可以看一些莫队的题目的题解。