本文摘自 《概率论与数理统计》 陈希孺著 中国科学技术大学出版社
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极大似然估计法
矩估计法

参数的点估计问题

设有一个总体统计，以f(x;θ1,⋯,θn)记其概率密度函数（若总体分布为连续型的）或其概率函数（如总体分布为离散型的）。我们约定称f(x;θ1,⋯,θn)为“总体分布”，其具体含义视其为连续型或离散型而定。这个分布包含k个未知数θ1,⋯,θk。例如，对正态总体N(μ,σ2)，有θ1=μ,θ2=σ2，而

f(x;θ1,θ2)=(2πθ2‾‾‾‾‾√)−1exp−12θ2(x−θ1)2(−∞<x<∞)

若总体有二项分布B(n,p)，则θ1=p，而

f(x;θ1)=(nx)θx1(1−θ1)n−x(x=0,1,⋯,n)

当k=1时，也就是只有一个参数时，我们用θ取代θ1。

参数估计问题的一般提法是：设有了从总体中抽出的样本X1,⋯,\Xn（这样样本是独立随机样本，即X1,⋯,Xn独立同分布，其公共分布就是总体分布），要依据这些样本去对参数θ1,⋯,θk中的一部分，或者估计它们某个已知函数g(θ1,⋯,θk)。例如，为了要估计θ1，我们要构造出适当的统计量θ1^=θ1^(X1,⋯,Xk)。每当有了样本X1,⋯,Xn，就带入函数θ1^(X1,⋯,Xk)中算出一个值，用来作为θ1的估计值。为着这样的特定目的而够着统计量θ̂ 叫做θ1的估计量。由于未知参数θ1是数轴上的一点，用θ1去估计θ，等于用一个点去估计另一个点，所以这样的估计叫做点估计。
点估计包含三种方法，包括矩估计法、极大似然估计法和贝叶斯估计法。我们将会在下面的博客一一介绍。