Cantor三分集的递归算法

Cantor三分集的递归算法

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小前言

今天在unity3d上借用Cantor三分集算法思想实现了如下一个分形效果：

虽然整体看上去不像三分集的原型：



做完倍感有趣啊哈哈

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Cantor三分集算法思想介绍

按照Cantor三分集的生成规则，用下图表示空间画线关系。

其中(ax,ay)–(bx,by)为初始线段，(ax,ay)–(cx,cy)和(dx,dy)–(bx,by)为初始线段3等分

后去掉中间线段所剩下的两个线段。以后操作都按照这种简单规则进行递归。

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1.算法与步骤

• ①如上图，给定初始直线两端点坐标(ax,ay)和(bx,by)，按如下生成规则计算各关键点坐标：
  

  
  

                其中，d为一个常量，代表上下两层线段之间的距离。

• ②利用递归算法，将计算出来的新点分别对应于(ax,ay)和(bx,by)，即：
  

  
  
  
  再利用步骤①中关系计算出下一级新点(cx,cy)和(dx,dy)，并压入堆栈。

• ③给定一个小量c，当(bx,by)<c时，被压入堆栈中的值依次释放完毕，同时绘制直线段(ax,ay)–(bx,by),再结束程序。

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2.补充说明

• ①Cantor集被分解到无穷时是一种状态，但无穷只存在于想象之中，计算机无法做到，所以算法中设置了一个小量指标c，用来停止递归。

• ②常量d是为了使Cantor三分集每层结果不重叠，方便看清它的自相似性。

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3.Java程序例子

• 主要递归方法为：

public void drawShape(Graphics g, double ax, double ay, double bx, double by){       double c=1;       if((bx - ax) < c){         g.drawLine((int) ax, (int) ay, (int) bx, (int) by);       }else{          double cx = 0, cy = 0,                  dx = 0, dy = 0;          g.drawLine((int) ax, (int) ay, (int) bx, (int) by);          cx = ax + (bx - ax) / 3;          cy = ay +50;          dx = bx - (bx - ax) / 3;          dy = by +50;          ay = ay +50;          by = by +50;         drawShape(g,ax, ay, cx, cy);         drawShape(g,dx, dy, bx, by);       }           }   

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可在IDE环境中运行该JApplet程序(Cantor.java)：

import java.awt.*;import javax.swing.*;import java.lang.*;public class Cantor extends JApplet{  public void init(){    new Cantor();  }  public void frameSet(){   Cantor shapes = new Cantor();   JFrame fra = new JFrame("welcome");   fra.getContentPane().add(shapes,BorderLayout.CENTER);         fra.setSize(new Dimension(670,400));         fra.setResizable(false);          fra.setVisible(true); }  public static void main(String args[]){    new Cantor().frameSet();  }   public void paint(Graphics g){       g.setColor(Color.black);       drawShape(g,100, 100, 800, 100);   }   public void drawShape(Graphics g, double ax, double ay, double bx, double by){       double c=1;       if((bx - ax) < c){         g.drawLine((int) ax, (int) ay, (int) bx, (int) by);       }else{          double cx = 0, cy = 0,                  dx = 0, dy = 0;          g.drawLine((int) ax, (int) ay, (int) bx, (int) by);          cx = ax + (bx - ax) / 3;          cy = ay +50;          dx = bx - (bx - ax) / 3;          dy = by +50;          ay = ay +50;          by = by +50;         drawShape(g,ax, ay, cx, cy);         drawShape(g,dx, dy, bx, by);       }           }   }

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这是一只编程小喵，经常出没在喵屋[AudioMiao]中，挖挖[喵的Github]，瞧瞧世界。