AVL树—— C++实现
来源:互联网 发布:怎样打开网络共享 编辑:程序博客网 时间:2024/05/29 12:28
AVL树的介绍
二叉查找树的深度越小,那么查找所需要的运算时间越小。一个深度为log(n)的二叉查找树,查找算法的时间复杂度也是log(n)。然而,我们在二叉查找树中已经实现的插入和删除操作并不能让保持log(n)的深度。如果我们按照8,7,6,5,4,3,2,1的顺序插入节点,那么就是一个深度为n的二叉树,即二叉查找树退化成单向链表。那么,查找算法的时间复杂度为n。
AVL树是高度平衡的查找二叉树。它的特点是:AVL树中任何节点的两个子树的最大高度差为1,这样的平衡特性能保证查找、插入、删除三大操作的平均或最坏情况下的算法复杂度维持在log(n)。
上面的两张图片,左边的是AVL树,它的任何节点的两个子树的高度差别都<=1;而右边的不是AVL树,因为7的两颗子树的高度相差为2(以2为根节点的树的高度是3,而以8为根节点的树的高度是1)。
AVL树的C++实现
1. AVL树节点
#pragma once/****AVLTreeNode: AVLTree的节点***key: 关键字,节点根据关键字排序,用来搜索***height: 以节点在根的子树的高度***leftChild: 节点的左孩子***rightChild: 节点的右孩子*/template <typename T>struct AVLTreeNode{ T key; int height; AVLTreeNode<T> *leftChild, *rightChild; AVLTreeNode(const T &theKey) : key(theKey) { height = 0; leftChild = rightChild = nullptr; } AVLTreeNode(const T &theKey, AVLTreeNode<T>* leftChild, AVLTreeNode<T>* rightChild) : key(theKey) { height = 0; this->leftChild = leftChild; this->rightChild = rightChild;; }};
2. AVL树接口
template <typename T>class AVLTree{public: AVLTree(); ~AVLTree(); // 获取AVL树的高度 int height(); // 前序、中序、后序遍历"AVL树" void preOrder() { preOrder(root); } void inOrder() { inOrder(root); } void postOrder() { postOrder(root); } // 查找"AVL树"中键值为key的节点 AVLTreeNode<T>* find(const T& key) const; // 查找最小和最大结点:返回结点的键值指针。 T* minimum(); T* maximum(); // 将结点插入到AVL树中 void insert(const T& theKey); // 删除结点 void erase(const T& theKey); // 销毁AVL树 void destroy(); void output() { inOrder(root); cout << endl; }private: AVLTreeNode<T> *root; // 根结点 int height(AVLTreeNode<T>* theRoot); // 前序、中序、后序遍历"AVL树" void preOrder(AVLTreeNode<T>* theRoot) const; void inOrder(AVLTreeNode<T>* theRoot) const; void postOrder(AVLTreeNode<T>* theRoot) const; // 查找最小和最大结点,返回节点指针。 AVLTreeNode<T>* minimum(AVLTreeNode<T>* theRoot) const; AVLTreeNode<T>* maximum(AVLTreeNode<T>* theRoot) const; // LL:左左对应的情况(左单旋转)。 AVLTreeNode<T>* LLRotation(AVLTreeNode<T>* aNode); // RR:右右对应的情况(右单旋转)。 AVLTreeNode<T>* RRRotation(AVLTreeNode<T>* aNode); // LR:左右对应的情况(左双旋转)。 AVLTreeNode<T>* LRRotation(AVLTreeNode<T>* aNode); // RL:右左对应的情况(右双旋转)。 AVLTreeNode<T>* RLRotation(AVLTreeNode<T>* aNode); // 将结点(z)插入到AVL树中 AVLTreeNode<T>* insert(AVLTreeNode<T>* &theRoot, const T& theKey); // 删除AVL树中的结点(p),并返回被删除的结点 AVLTreeNode<T>* erase(AVLTreeNode<T>* &theRoot, AVLTreeNode<T>* p); // 销毁AVL树 void destroy(AVLTreeNode<T>* &theRoot);};
AVLTree是AVL树对应的类。它包含AVL树的根节点root和AVL树的基本操作接口。需要说明的是:AVLTree中重载了许多函数。重载的目的是区分内部接口和外部接口,内部接口主要用于外部接口的递归实现,而外部接口供用户使用;例如insert()函数而言,insert(root, theKey)是内部接口,而insert(theKey)是外部接口。
3. 旋转操作(核心)
如果在AVL树中进行插入或删除节点后,可能导致AVL树失去平衡。这种失去平衡的可以概括为4种姿态:LL(左左),LR(左右),RR(右右)和RL(右左)。下面给出它们的示意图:
上图中的4棵树都是”失去平衡的AVL树”,从左往右的情况依次是:LL、LR、RL、RR。除了上面的情况之外,还有其它的失去平衡的AVL树,如下图:
上面的两张图都是为了便于理解,而列举的关于”失去平衡的AVL树”的例子。总的来说,AVL树失去平衡时的情况一定是LL、LR、RL、RR这4种之一,它们都由各自的定义:
(1) LL:LeftLeft,也称为”左左”。插入或删除一个节点后,根节点的左子树的左子树还有非空子节点,导致”根的左子树的高度”比”根的右子树的高度”大2,导致AVL树失去了平衡。
例如,在上面LL情况中,由于”根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点”,而”根节点(8)的右子树(12)没有子节点”;导致”根节点(8)的左子树(4)高度”比”根节点(8)的右子树(12)”高2。
(2) LR:LeftRight,也称为”左右”。插入或删除一个节点后,根节点的左子树的右子树还有非空子节点,导致”根的左子树的高度”比”根的右子树的高度”大2,导致AVL树失去了平衡。
例如,在上面LR情况中,由于”根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点”,而”根节点(8)的右子树(12)没有子节点”;导致”根节点(8)的左子树(4)高度”比”根节点(8)的右子树(12)”高2。
(3) RL:RightLeft,称为”右左”。插入或删除一个节点后,根节点的右子树的左子树还有非空子节点,导致”根的右子树的高度”比”根的左子树的高度”大2,导致AVL树失去了平衡。
例如,在上面RL情况中,由于”根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点”,而”根节点(8)的左子树(4)没有子节点”;导致”根节点(8)的右子树(12)高度”比”根节点(8)的左子树(4)”高2。
(4) RR:RightRight,称为”右右”。插入或删除一个节点后,根节点的右子树的右子树还有非空子节点,导致”根的右子树的高度”比”根的左子树的高度”大2,导致AVL树失去了平衡。
例如,在上面RR情况中,由于”根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点”,而”根节点(8)的左子树(4)没有子节点”;导致”根节点(8)的右子树(12)高度”比”根节点(8)的左子树(4)”高2。
前面说过,如果在AVL树中进行插入或删除节点后,可能导致AVL树失去平衡。AVL失去平衡之后,可以通过旋转使其恢复平衡,下面分别介绍”LL(左左),LR(左右),RR(右右)和RL(右左)”这4种情况对应的旋转方法。
LL的旋转
LL失去平衡的情况,可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。如下图:
图中左边是旋转之前的树,右边是旋转之后的树。从中可以发现,旋转之后的树又变成了AVL树,而且该旋转只需要一次即可完成。
对于LL旋转,你可以这样理解为:LL旋转是围绕”失去平衡的AVL根节点”进行的,也就是节点B;而且由于是LL情况,即左左情况,使A绕着B顺时针旋转。将B变成根节点,A变成B的右子树,”B的右子树”变成”A的左子树”。
LLRotation代码:
// LL型:左左对应的情况(左单旋转)template <typename T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::LLRotation(AVLTreeNode<T>* aNode){ AVLTreeNode<T>* bNode = aNode->leftChild; aNode->leftChild = bNode->rightChild; bNode->rightChild = aNode; aNode->height = max(height(aNode->leftChild), height(aNode->rightChild)) + 1; bNode->height = max(height(bNode->leftChild), height(bNode->rightChild)) + 1; return bNode;}
RR的旋转
理解了LL之后,RR就相当容易理解了。RR是与LL对称的情况!RR恢复平衡的旋转方法如下:
RR情况下,A节点绕着B节点逆时针旋转,使得A成为B的左孩子,B的左孩子成为A的右孩子。图中左边是旋转之前的树,右边是旋转之后的树。RR旋转也只需要一次即可完成。
RRRotation代码:
// RR型:右右对应的情况(右单旋转)。template <typename T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::RRRotation(AVLTreeNode<T>* aNode){ AVLTreeNode<T>* bNode = aNode->rightChild; aNode->rightChild = bNode->leftChild; bNode->leftChild = aNode; aNode->height = max(height(aNode->leftChild), height(aNode->rightChild)) + 1; bNode->height = max(height(bNode->leftChild), height(bNode->rightChild)) + 1; return bNode;}
LR的旋转
LR失去平衡的情况,需要经过两次旋转才能让AVL树恢复平衡。如下图:
第一次旋转是围绕”B”进行的”RR旋转”,第二次是围绕”C”进行的”LL旋转”。
LRRotation代码:
// LR型:左右对应的情况(左双旋转)。template <typename T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::LRRotation(AVLTreeNode<T>* aNode){ aNode->leftChild = RRRotation(aNode->leftChild); return LLRotation(aNode);}
RL的旋转
RL是与LR的对称情况!RL恢复平衡的旋转方法如下:
第一次旋转是围绕”B”进行的”LL旋转”,第二次是围绕”C”进行的”RR旋转”。
RLRotation代码:
// RL型:右左对应的情况(右双旋转)。template <typename T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::RLRotation(AVLTreeNode<T>* aNode){ aNode->rightChild = LLRotation(aNode->rightChild); return RRRotation(aNode);}
3. 完整的实现代码
AVL树的实现文件(AVRTree.h)
#pragma once#include<iostream>#include<algorithm>#include"AVLTreeNode.h"using namespace std;template <typename T>class AVLTree{public: AVLTree() : root(nullptr) { } ~AVLTree() { destroy(); } // 获取AVL树的高度 int height(); // 前序、中序、后序遍历"AVL树" void preOrder() { preOrder(root); } void inOrder() { inOrder(root); } void postOrder() { postOrder(root); } // 查找"AVL树"中键值为key的节点 AVLTreeNode<T>* find(const T& key) const; // 查找最小和最大结点:返回结点的键值指针。 T* minimum(); T* maximum(); // 将结点插入到AVL树中 void insert(const T& theKey); // 删除结点 void erase(const T& theKey); // 销毁AVL树 void destroy(); void output() { inOrder(root); cout << endl; }private: AVLTreeNode<T> *root; // 根结点 int height(AVLTreeNode<T>* theRoot); // 前序、中序、后序遍历"AVL树" void preOrder(AVLTreeNode<T>* theRoot) const; void inOrder(AVLTreeNode<T>* theRoot) const; void postOrder(AVLTreeNode<T>* theRoot) const; // 查找最小和最大结点,返回节点指针。 AVLTreeNode<T>* minimum(AVLTreeNode<T>* theRoot) const; AVLTreeNode<T>* maximum(AVLTreeNode<T>* theRoot) const; // LL:左左对应的情况(左单旋转)。 AVLTreeNode<T>* LLRotation(AVLTreeNode<T>* aNode); // RR:右右对应的情况(右单旋转)。 AVLTreeNode<T>* RRRotation(AVLTreeNode<T>* aNode); // LR:左右对应的情况(左双旋转)。 AVLTreeNode<T>* LRRotation(AVLTreeNode<T>* aNode); // RL:右左对应的情况(右双旋转)。 AVLTreeNode<T>* RLRotation(AVLTreeNode<T>* aNode); // 将结点(z)插入到AVL树中 AVLTreeNode<T>* insert(AVLTreeNode<T>* &theRoot, const T& theKey); // 删除AVL树中的结点(p),并返回被删除的结点 AVLTreeNode<T>* erase(AVLTreeNode<T>* &theRoot, AVLTreeNode<T>* p); // 销毁AVL树 void destroy(AVLTreeNode<T>* &theRoot);};template <typename T>int AVLTree<T>::height(AVLTreeNode<T>* theRoot){ if(theRoot != nullptr) return theRoot->height; return 0;}template <typename T>int AVLTree<T>::height(){ return height(root);}template <typename T>void AVLTree<T>::preOrder(AVLTreeNode<T>* theRoot) const{ if (theRoot != nullptr) { cout << theRoot->key << " "; preOrder(theRoot->leftChild); preOrder(theRoot->rightChild); }}template <typename T>void AVLTree<T>::inOrder(AVLTreeNode<T>* theRoot) const{ if (theRoot != nullptr) { inOrder(theRoot->leftChild); cout << theRoot->key << " "; inOrder(theRoot->rightChild); }}template <typename T>void AVLTree<T>::postOrder(AVLTreeNode<T>* theRoot) const{ if (theRoot != nullptr) { postOrder(theRoot->leftChild); postOrder(theRoot->rightChild); cout << theRoot->key << " "; }}template <typename T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::find(const T& theKey) const{ AVLTreeNode<T>* p = root; while (p != nullptr) { if (theKey < p->key) p = p->leftChild; else if (theKey > p->key) p = p->rightChild; else return p; } return nullptr;}template <typename T>T* AVLTree<T>::minimum(){ AVLTreeNode<T>* min = minimum(root); if (min != nullptr) return &min->key; return nullptr;}template <typename T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::minimum(AVLTreeNode<T>* theRoot) const{ AVLTreeNode<T>* p = theRoot, pp = nullptr; while (p != nullptr) { pp = p; p = p->leftChild; } return pp;}template <typename T>T* AVLTree<T>::maximum(){ AVLTreeNode<T>* max = maximum(root); if (max != nullptr) return &max->key; return nullptr;}template <typename T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::maximum(AVLTreeNode<T>* theRoot) const{ AVLTreeNode<T>* p = theRoot, pp = nullptr; while (p != nullptr) { pp = p; p = p->rightChild; } return pp;}// LL型:左左对应的情况(左单旋转)template <typename T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::LLRotation(AVLTreeNode<T>* aNode){ AVLTreeNode<T>* bNode = aNode->leftChild; aNode->leftChild = bNode->rightChild; bNode->rightChild = aNode; aNode->height = max(height(aNode->leftChild), height(aNode->rightChild)) + 1; bNode->height = max(height(bNode->leftChild), height(bNode->rightChild)) + 1; return bNode;}// RR型:右右对应的情况(右单旋转)。template <typename T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::RRRotation(AVLTreeNode<T>* aNode){ AVLTreeNode<T>* bNode = aNode->rightChild; aNode->rightChild = bNode->leftChild; bNode->leftChild = aNode; aNode->height = max(height(aNode->leftChild), height(aNode->rightChild)) + 1; bNode->height = max(height(bNode->leftChild), height(bNode->rightChild)) + 1; return bNode;}// LR型:左右对应的情况(左双旋转)。template <typename T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::LRRotation(AVLTreeNode<T>* aNode){ aNode->leftChild = RRRotation(aNode->leftChild); return LLRotation(aNode);}// RL型:右左对应的情况(右双旋转)。template <typename T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::RLRotation(AVLTreeNode<T>* aNode){ aNode->rightChild = LLRotation(aNode->rightChild); return RRRotation(aNode);}template <typename T>void AVLTree<T>::insert(const T& theKey){ insert(root, theKey);}//用递归将theKey插入到AVL树中,并维持树的平衡template <typename T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::insert(AVLTreeNode<T>* &theRoot, const T& theKey){ if (theRoot == nullptr) { theRoot = new AVLTreeNode<T>(theKey); if (theRoot == nullptr) { cerr << "ERROR: create avltree node failed!" << endl; return nullptr; } } else if (theKey < theRoot->key) {//左子树一侧插入节点 theRoot->leftChild = insert(theRoot->leftChild, theKey); if ( height(theRoot->leftChild) - height(theRoot->rightChild) == 2) { //插入节点后,AVL树失去平衡,平衡因子为2 if (theKey < theRoot->leftChild->key) //LL型 theRoot = LLRotation(theRoot); else //LR型 theRoot = LRRotation(theRoot); } } else if (theKey > theRoot->key) { //右子树一侧插入节点 theRoot->rightChild = insert(theRoot->rightChild, theKey); if (height(theRoot->rightChild) - height(theRoot->leftChild) == 2) { //插入节点后,AVL树失去平衡,平衡因子为-2 if (theKey > theRoot->rightChild->key) //RR型 theRoot = RRRotation(theRoot); else //RL型 theRoot = RLRotation(theRoot); } } else //theKey == tree->key cerr << "添加失败:不允许添加相同的节点!" << endl; theRoot->height = max(height(theRoot->leftChild), height(theRoot->rightChild)); return theRoot;}template <typename T>void AVLTree<T>::erase(const T& theKey){ AVLTreeNode<T>* P = find(theKey); //找到theKey对应的节点 if(p != nullptr) root = erase(root, p);}template <typename T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::erase(AVLTreeNode<T>* &theRoot, AVLTreeNode<T>* p){ if (theRoot == nullptr || p == nullptr) return nullptr; if (p->key < theRoot->key) { //待删除节点在左子树一侧 theRoot->leftChild = erase(theRoot->leftChild, p); if (height(theRoot->right) - height(theRoot->leftChild) = 2) { //删除节点后,AVL树失去平衡,平衡因子为-2 AVLTreeNode<T>* r = theRoot->rightChild; if (height(r->leftChild) > height(r->rightChild)) theRoot = RLRotation(theRoot); else theRoot = RRRotation(theRoot); } } else if (p->key > theRoot->key) { //待删除节点在右子树一侧 theRoot->rightChild = erase(theRoot->rightChild, p); if (height(theRoot->leftChild) - height(theRoot->rightChild) == 2) { //删除节点后,AVL树失去平衡,平衡因子为2 AVLTreeNode<T>* l = theRoot->leftChild; if (l->rightChild > l->leftChild) theRoot = LRRotation(theRoot); else theRoot = LLRotation(theRoot); } } else { //待删除的节点就是theRoot if ((theRoot->leftChild != nullptr) && (theRoot->rightChild != nullptr)) { //待删除节点有两个孩子 if (height(theRoot->leftChild) > height(theRoot->rightChild)) { //从theRoot的左子树找到最大节点填补到删除的节点位置 AVLTreeNode<T>* max = maximum(theRoot->leftChild); theRoot->key = max->key; theRoot->leftChild = erase(theRoot->leftChild, max); } else {//从theRoot的左子树找到最大节点填补到删除的节点位置 AVLTreeNode<T>* min = minimum(theRoot->rightChild); theRoot->key = min->key; theRoot->rightChild = erase(theRoot->rightChild, min); } } else { //待删除的节点最多有一个孩子 AVLTreeNode<T>* tmp = theRoot; theRoot = (theRoot->leftChild != nullptr) ? theRoot->leftChild : theRoot->rightChild; delete tmp; } } return theRoot;}template <typename T>void AVLTree<T>::destroy(AVLTreeNode<T>* &theRoot){ if (theRoot == nullptr) return; destroy(theRoot->leftChild); destroy(theRoot->rightChild); delete theRoot; theRoot = nullptr;}template <typename T>void AVLTree<T>::destroy(){ destroy(root);}
博客转载自:http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3577360.html
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