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      1位数的情况：

       在解法二中已经分析过，大于等于1的时候，有1个，小于1就没有。

       2位数的情况：

       N=13,个位数出现的1的次数为2，分别为1和11，十位数出现1的次数为4，分别为10,11,12,13，所以f(N) = 2+4。

       N=23,个位数出现的1的次数为3，分别为1，11，21，十位数出现1的次数为10，分别为10~19，f(N)=3+10。

       由此我们发现，个位数出现1的次数不仅和个位数有关，和十位数也有关，如果个位数大于等于1，则个位数出现1的次数为十位数的数字加1；如果个位数为0，个位数出现1的次数等于十位数数字。而十位数上出现1的次数也不仅和十位数相关，也和个位数相关：如果十位数字等于1，则十位数上出现1的次数为个位数的数字加1，假如十位数大于1，则十位数上出现1的次数为10。

       3位数的情况:

       N=123

       个位出现1的个数为13:1,11,21，…，91,101,111,121

       十位出现1的个数为20:10~19,110~119

       百位出现1的个数为24:100~123

       我们可以继续分析4位数，5位数，推导出下面一般情况： 

       假设N，我们要计算百位上出现1的次数，将由三部分决定：百位上的数字，百位以上的数字，百位一下的数字。

       如果百位上的数字为0，则百位上出现1的次数仅由更高位决定，比如12013，百位出现1的情况为100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200个。等于更高位数字乘以当前位数，即12 * 100。

       如果百位上的数字大于1，则百位上出现1的次数仅由更高位决定，比如12213，百位出现1的情况为100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，12100~12199共1300个。等于更高位数字加1乘以当前位数，即（12 + 1）*100。

        如果百位上的数字为1，则百位上出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响。例如12113，受高位影响出现1的情况：100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200个，但它还受低位影响，出现1的情况是12100~12113，共114个，等于低位数字113+1。

       综合以上分析，写出如下代码：

 

 1 public long CountOne2(long n) 2         { 3             long count = 0; 4             long i = 1; 5             long current = 0,after = 0,before = 0; 6             while((n / i) != 0) 7             {            8                 current = (n / i) % 10; 9                 before = n / (i * 10);10                 after = n - (n / i) * i;11 12                 if (current > 1)13                     count = count + (before + 1) * i;14                 else if (current == 0)15                     count = count + before * i;16                 else if(current == 1)17                     count = count + before * i + after + 1;18 19                 i = i * 10;20             }21             return count;22             23         }

 

     此算法的时间复杂度仅为O(lgN)，且没有递归保存现场的消耗和堆栈溢出的问题。