游戏引擎架构----数学基础

1. 点和矢量

坐标：笛卡尔坐标：多个相互垂直的轴构成的，笛卡尔基矢量

          圆柱坐标系

          球坐标系

左右手坐标系：大拇指、食指、中指分别是x,y,z轴

矢量和点的区别：矢量相对于某个已知点的便宜，一个矢量可以移到三维空间中的任何位置，都是同一个矢量。点是绝对的，矢量是相对的

矢量运算：和标量的乘法

          加法（应用：显示欧拉法求位置）、减法

          矢量的分量积（component-wise product）/阿达马积(Hadamard product)：非统一缩放

          模

          点积：符合交换律，分配率，投影。判定是否共线、反向、垂直，计算点距离平面的距离（点+平面点 * 平面ss法线）

          叉积：模：平行四边形的面积。反交换律，分配率。笛卡尔轴的正旋方向，绕z轴从x到y，绕x轴从y到z，绕y轴从z到x（注意按照y轴是倒转的），求法矢量

线性插值：LERP（linear interpolation）,加权平均，权重分别为1-x和x

2. 矩阵

标准正交矩阵：行和列都为单位矢量

仿射矩阵：4*4的变换矩阵，能维持之前变换前后的平行以及相对距离比

          最接近矢量的矩阵会最先进行变换

单位矩阵（identity matrix）

逆矩阵（inverse matrix）所有仿射矩阵都有逆矩阵

转置矩阵（transpose matrix）标准正交矩阵的逆矩阵和转置矩阵一样

齐次坐标（homogeneous coordinates）：为了让矩阵能表示平移等等，在原先的维度上增加一维，通常称为w。如4*4的矩阵能表示平移，旋转，缩放。表示为[ U 0 \ t 1 ]，U是3*3的旋转矩阵，t是3*1的平移矩阵

          由于矢量没有位移，因此矩阵变换方向矢量时，要忽略平移效果，所以w分量为0

           点有位移，因此w分量为1

           [v w][U 0 \ t 1] = [vU + wt w]    

          四维齐次坐标变成三维坐标的方法是把x y z 分量除以w分量。矢量的w为0，所以三维空间上的纯方向矢量在四维中是位于无穷远的点

平移矩阵：[I 0 \ t 1]，逆矩阵：对t求反

旋转矩阵：[R 0 \ 0 1]，逆矩阵：转置。因为把角度求反就是两个正弦求反，余弦不变

缩放矩阵：[S 0 \ 0 1]，S是对角阵。逆矩阵：求倒数

坐标空间：

     一组坐标轴代表一个参考系

     模型空间：局部空间

     世界空间

     观察空间：摄像机空间。原点在摄像机的焦点处

     基的变更：Mc->p：子空间到父空间的转换矩阵，[子空间x轴的单位基矢量在父空间的坐标 \ 子空间y轴的单位基矢量在父空间的坐标 \ 子空间z轴的单位基矢量在父空间的坐标 \ 子坐标系相对于父坐标系的平移]，若子轴有缩放，则基矢量的单位长度也会有相应的缩放系数。

     基变更矩阵也能抽取出子空间的x,y,z朝向

     通过基变更矩阵变换坐标，也可反过来认为是反方向的变换坐标系

     法矢量是使用Mc->p的逆转置矩阵变换的

3. 四元数

q = [qx qy qz qw], 可看做三维矢量加上第四维的标量坐标。矢量部分是旋转单位轴乘以旋转半角的正弦，标量部分是旋转半角的余弦

乘法：

          pq:先旋转Q再旋转P

          四元数[0 0 0 1]是零旋转

          代表三维旋转的四元数是单位长度的，四元数的逆也符合矩阵积的逆的特性，即(pq)-1 = q-1 p-1

旋转矢量：v = [v 0]

               v’ = qvq-1

四元数和旋转矩阵是可以相互转换的

线性插值：

          LERP：normalize((1-x)a + xb)，问题：旋转并非以恒定的角速度进行，两端较慢中间较快

          SLERP(spherical linear interpolation)：球面线性插值normalize(sin((1-x)theta) / sin(theta) * a + sin((x*theta) / sin(theta) * b)。theta来自两个四元数的夹角，可以用四维点积求得cos(theta) = p.q

4. 各种旋转的表示

欧拉角：按照三个主轴旋转。偏航角(yaw)，俯仰角(pitch)，滚动角(roll)

          问题：不能轻易插值，万向节死锁（旋转90度是，一个主轴会与另一个完全对其，这样两个旋转以及完全等效），先绕那根轴后绕那根轴结果不同

3*3矩阵：问题：不直观，不易插值，需要大量存储空间

轴角：旋转轴和按轴旋转的角度[a theta]

          问题：不能简单的插值

四元数

旋转自由度：

          自由度DOF（degree of freedom）：自由物体在平移上有三个自由度(x,y,z)，在旋转上也有三个自由度(绕x,y,z轴)

          Ndof = N参数 - N约束

5. 仿射矩阵的表示

SQT变换：缩放scale，四元数quaternion，平移translation。体积小，易插值

对偶四元数：四个分量不是实数，是对偶数。

6. 线

     直线：点+方向。

     射线：约束(t>=0)

     线段：约束(t>=0, t<=L)

7. 球：中点+半径

8. 平面：点+法线。Ax+By+Cz+D = 0。[A B C]归一化后是法线。d = D/length([A B C])是平面到原点的距离。原点位于平面正面的时候d是正数，否则d是负数。也可用四元数表示[a b c d]，法线是a b c, d的定义如上。使用逆转置矩阵施于这个四元数上，可得到新的空间的平面。

9. 轴对齐包围盒AABB（axis aligned bounding box）

10. 定向包围盒OBB（oriented bounding box）将点变换成OBB的对齐坐标空间，再用AABB的相交测试法

11. 平截头体（frustum）：将点通过透视投影变换至齐次裁剪空间后，使用AABB相交测试法测试是否在内部

12. SIMD：单指令多数据single instruction multiple data。现代微处理器能用一个指令并行的对多个数据执行数学运算。

     SSE：单指令多数据流扩展streaming SIMD extensions。最常用的为32为浮点数打包模式

     SSE寄存器可存4个32位float，可以将两个SSE寄存器的内容做运算，一次可以运行四个数的结果。

     __m128就是C中的这种格式。需要保证是16字节对其的，动态分配的结构需要由程序员负责对齐。

     __asm内联汇编

     应用：矢量*矩阵：矢量的每个分量分别和矩阵的行相乘，最后相加

13. 随机数

线性同余法

梅森旋转阀

Xor shift（伪随机数产生器之母）