算法作业19

题目地址：https://leetcode.com/problems/max-sum-of-sub-matrix-no-larger-than-k/#/description

题目描述：Given a non-empty 2D matrix matrix and an integer k, find the max sum of a rectangle in the matrix such that its sum is no larger than k.

我的代码：

class Solution {public:    int maxSumSubarray(vector<int> &nums,int k){        int sum = INT_MIN,b=0,n=nums.size();        set<int> sm;        sm.insert(0);        for(int i=0;i<n;i++){            b+=nums[i];            auto it = sm.lower_bound(b-k);            if(it!=sm.end()&&b-*it>sum) sum=b-*it;            sm.insert(b);        }        return sum;    }    int maxSumSubmatrix(vector<vector<int>>& matrix, int k) {        int sum = INT_MIN, n =matrix.size(),m=matrix[0].size();        for(int i=0;i<n;i++){            vector<int> sumcol;            sumcol.clear();            for(int i=0;i<m;i++)sumcol.push_back(0);            for(int j=i;j<n;j++){            for(int k=0;k<m;k++) sumcol[k]+=matrix[j][k];            int max0=maxSumSubarray(sumcol,k);            if(max0>sum) sum = max0;        }        }         return sum;    }};

解题思路：
首先介绍一些基本知识：
一、求数组的连续子串和的最大值的方法：

int maxsubsumarrray(int* a,int n){    int sum=INT_MIN,b=0;    for(int i=0;i<n;i++){        if(b<0) b=a[i];        else b+=a[i];        if(b>sum)sum = b;    }    return sum;}

该方法使用动态规划，复杂度为O(n);

二、求二维矩阵的连续子矩阵和的最大值：
当确定了子矩阵的行（ri行到rj行），可将其转化为对列的一维情形下求最大连续子串和，而子矩阵的行有n^2种情况，所以总复杂度为O(n^2*m).

int maxsubsummatrix(vector<vector<int>> matrix){    int n=matrix.size(),m=matrix[0].size(),sum=INT_MIN;    int b[m];    for(int i=0;i<n;i++){        for(int j<0;j<m;j++) b[j]=0;        for(int j=i;j<n;j++){            for(int k=0;k<m;k++) b[k]+=matrix[j][k];//转化成一维。            int m = maxsubsumarray(b,m);            if(m>sum) sum=m;        }    }    return sum;}

三、求数组的连续子串和的不大于k的最大值的方法：
与直接求最大值相比，这里多了一个上限k。很显然，之前的动态规划在这里并不适用。不过可以将其稍加变化，用sum[i]表示前i个数的和，显然，从i到j的子串和是sum[j]-sum[i-1];我们所求的是sum[j]-sum[i-1]<=k的最大值，而对于动态规划，可固定j，即求sum[i-1]>=sum[j]-k的最小值，因此，可以用集合或树或堆等数据结构进行优化，每一步找到这个最小值即可。查找的复杂度为O(logn),所以总复杂度为O(nlogn).

四、求二维矩阵的连续子矩阵和的小于k的最大值：
这就是这个题目的内容。很显然的，我们可以将其转化成一维，然后求解，复杂度为O(n^2*mlogm)。