bzoj 1420&&bzoj 1319: Discrete Root 原根+BSGS+exgcd+模线性方程

题意

已知k，a，p，求x ^ k=a (mod p)的所有根（根的范围[0,p-1]）

分析

一开始看成是一道裸的BSGS，后来发现不是，然后就没思路了。

p是素数！！！
话说原根真的超级强大。我们先找到p的原根g，然后设x=gy,a=gz，z显然可以用BSGS来求出。
那么可以得到gyk=gz(modp)
根据原根的周期性，我们可以得到yk=z(modp−1)
然后直接上模线性方程就好了：
ax = b(mod n)
其实方程等价于 ax - ny = b, 标准模线性方程，但是得考虑剩余系。
算法导论上有两个定理：
定理一：设d = gcd(a, n), 假定对整数x’, y’, 有d = ax’ + ny’， 如果d | b, 则方程ax = b(mod)有一个解的值为x0, 满足：、
x0 = x’(b / d)(mod n）
定理二：假设方程ax = b(mod n)有解， x0是方程的任意一个解， 则方程对模n恰有d个不同的解， 分别为： xi = x0 + i * (n / d), 其中 i = 1,2,3……d - 1
有了这两个定理， 解方程就不难了。

还有这题细节比较多：
1、p=2和p=3没有原根，特判。
2、a=0特判。因为没有解。

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>#include<map>#include<cmath>using namespace std;typedef long long LL;const int N=1000005;LL a,k,p,g,ans[N],sta[N],top,tot;map<LL,LL> w;LL ksm(LL x,LL y,LL p){    LL ans=1;    while (y)    {        if (y&1) ans=ans*x%p;        x=x*x%p;y>>=1;    }    return ans;}LL get_g(LL n){    LL x=n-1;    for (LL i=2;i<=n&&x>1;i++)        if (x%i==0)        {            sta[++top]=i;            while (x%i==0) x/=i;        }    for (LL g=2;;g++)    {        int i;        for (i=1;i<=top;i++)            if (ksm(g,(n-1)/sta[i],n)==1) break;        if (i==top+1) return g;    }}LL BSGS(LL a,LL p){    LL m=sqrt(p),ny=ksm(g,p-2,p),now=a;    w[a]=p;    for (LL i=1;i<m;i++)    {        now=now*ny%p;        if (!w[now]) w[now]=i;    }    ny=ksm(g,m,p);now=1;    for (int i=0;i<=m;i++)    {        if (w[now]) return (w[now]+(LL)i*m)%p;        now=now*ny%p;    }}LL gcd(LL x,LL y){    if (!y) return x;    else return gcd(y,x%y);}void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){    if (!b)    {        x=1;y=0;        return;    }    exgcd(b,a%b,x,y);    LL tmp=x;    x=y;    y=tmp-(a/b)*y;}int main(){    scanf("%lld%lld%lld",&p,&k,&a);    if (!a)    {        putchar('0');return 0;    }    if(p==2)     {        if(a==1) puts("1\n1");        else puts("1\n0");        return 0;    }    if(p==3){        for(int i=0;i<=2;i++)            if(ksm(i,k,p)==a) tot++;        printf("%lld\n",tot);        for(int i=0;i<=2;i++)            if(ksm(i,k,p)==a) printf("%d\n",i);        return 0;    }    g=get_g(p);    LL z=BSGS(a,p);    LL d=gcd(k,p-1);    if (z%d!=0)    {        putchar('0');        return 0;    }    LL tmp=(p-1)/d,x,y;    exgcd(k,p-1,x,y);    x=x*(z/d);x=(x%(p-1)+p-1)%(p-1);    for (int i=0;i<d;i++) ans[++tot]=ksm(g,x,p),x+=tmp;    sort(ans+1,ans+tot+1);    cout<<tot<<endl;    for (int i=1;i<=tot;i++) printf("%lld\n",ans[i]);    return 0;}