算分概率论预备知识笔记

算分读书笔记(概率论预备知识)

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1.组合数的阶估计

证明:

(nk)k≤(nk)≤(enk)k  (∗)

(nk)=Πk−1i=0n−ik−i≥Πk−1i=0nk=(nk)k  (1)
(nk)=(nn−k)=Πn−k−1i=0n−in−k−i (2)
ln(nk)=Σn−k−1i=0lnn−in−k−i=Σn−k−1i=0ln(1+kn−k−i)=Σn−ki=1ln(1+ki)=ln(1+k)+Σn−ki=2∫ii−1ln(1+ki)dx≤           ln(1+k)+Σn−ki=2∫ii−1ln(1+kx)dx=nlnn−kln(k+1)+(n−k)ln(n−k)≤nlnn−klnk+(n−k)ln(n−k)=kln(nk)+(n−k)ln(1+kn−k))≤kln(nk)+k=kln(enk) (3)
(nk)≤(enk)k (4)

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2.马尔科夫不等式

证明:

P(|X−EX|≥ϵ)≤E|X−EX|αϵα (∗)

P(|X−EX|≥ϵ)=∫|X−EX|≥ϵf(x)dx (1)

由于积分区间内|X−EX|ϵ≥1

P(|X−EX|≥ϵ)=∫|X−EX|≥ϵf(x)dx≤∫|X−EX|≥ϵf(x)(|X−EX|ϵ)αdx≤∫Rf(x)(|X−EX|ϵ)αdx=E|X−EX|αϵα (2)

取α=1，则称为马尔科夫不等式，α=2，则称为切比雪夫不等式。

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3.切诺夫界

Suppose X1,...,Xn  are independent random variables taking values in {0,1} . LetX denote their sum and let μ=E[X] denote the sum’s expected value. Then for any 1>δ>0 :

Pr(X>(1+δ)μ)<(eδ(1+δ)(1+δ))μ

Pr(X<(1−δ)μ)<(e−δ(1−δ)(1−δ))μ

证明略。