大数幂模运算

来源：互联网发布：管家婆软件好用吗编辑：程序博客网时间：2024/05/28 23:21

大数幂的模运算

题目

我们知道对于像 7%2,3%5这样的题,计算机很容易算出它们的结果,但是如果我们需要计算 7123456789%65536这样的值呢,这时普通的计算方式可能就要花费很久的时间了,有没有简单的方法可以算出来这类大数的模呢?

分析

假设我们有整数a, b与除数m ,那么假设
a % m = j , b % m = t , 有整数 i , s , 使

$a = i m + j b = s m + t$
所以有
$a \cdot b = (i m + j) \cdot (s m + t) = i s m 2 + j s m + i t m + j t$
推出
$(a \cdot b) m o d m = (i s m 2 + j s m + i t m + j t) m o d m = j t m o d m = ((a m o d m) (b m o d m)) m o d m$
所以
对于像7123456789%65536这样的大数幂模运算,我们可以把大数幂m拆分成形如m=m1+m2+...+mn这样的形式,那么nm=nm1+m2+...+mn=nm1nm2⋅...nmn,这样通过上面的公式我们就可以很容易算出大数幂了.
因为
$a b c m o d m = ((a b) \cdot c) m o d m = (((a b) m o d m) (c m o d m)) m o d m = (((a m o d m) (b m o d m) m o d m) (c m o d m)) m o d m$
依次类推既可.

我们再考虑大数幂m要如何分解成形如m=m1+m2+...+mn的形式.
观察211=21+2+8=21×20+1×21+0×22+1×23.
所以
可以把大数幂m写成二进制,然后只取值为1的位,和这一位在二进制中从右到左的位数(从0开始计算),就可以得到这个大数幂的分解式了.

代码

// m为底数,pow为指数,n为除数int getMod(int m, int pow, int n){    int x = 1;    int power = m % n;    int mask = 1;    for(int i = 0; i < 32; i++) {        if((pow & mask) != 0) {            x = (x * power) % n;        }        power = (power * power) % n;        mask = mask << 1;    }    return x;}

ps

如果计算ammodp时发现p是素数而且a与p互质,使用费马小定理可以更快算出结果,因为这时ap−1≡1(modp)这个可以自己去了解一下.

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