120. Triangle

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[     [2],    [3,4],   [6,5,7],  [4,1,8,3]]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note:
Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

题意：如上图所示，求从三角形定点到底部的最短距离，移动过程中只能移动到相邻位置（例如从第二排的3只能移动到第三排的6或者5，不能移动到其他位置）

这道题采用动态规划的思想，定义数组dp[triangle.size()-1],dp[i]表示某一排的第i个元素到三角形底部的最短距离。

从三角形的底部第二排开始计算dp[]数组的初值。dp[i] = 底部第二排的第i个元素 +  （底部第一排的第i个元素和第i+1个元素中的最小值）。

从三角形的底部第三排开始向顶层循环计算dp[]数组的值，其中dp[i] = 某一层第i个元素的值 + （dp[i]和dp[i+1]中的最小值）。

最后得到的dp数组中的dp[0]即为我们要求的结果。

下面是代码：

public class Solution {    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {        if(triangle.size()==0) return 0;        if(triangle.size()==1) return triangle.get(0).get(0);        int[] dp = new int[triangle.size()-1];        for(int j=0;j<=triangle.size()-2;j++){    //计算dp数组的初值。            dp[j] = triangle.get(triangle.size()-2).get(j) + Math.min(triangle.get(triangle.size()-1).get(j),triangle.get(triangle.size()-1).get(j+1));        }        for(int i=triangle.size()-3;i>=0;i--){    //循环计算dp数组的值            for(int j=0;j<=i;j++){                dp[j] = triangle.get(i).get(j) + Math.min(dp[j],dp[j+1]);            }        }        return dp[0];    }}

此题解法中有一个需要注意的地方：

在题目的Note中有说明，如果解法的空间复杂度为O（n）的话是有加分点的。

故，我们在解答过程中，从底部第三层开始，就重复使用了dp[]数组的空间，之后，每向上循环一次，就会重写dp[]数组中部分元素的值。（因为在向上循环过程中每个List中的元素越来越少直到为1，所以需要重写的元素越来越少，且我们只要求dp[0]的值，其他元素的值并不重要。）