递归-微软面试100题-台阶问题

问题：

一个台阶总共有n级，如果一次可以跳1级，也可以跳2级。
求总共有多少总跳法，并分析算法的时间复杂度。

这道题最近经常出现，包括MicroStrategy等比较重视算法的公司
都曾先后选用过个这道题作为面试题或者笔试题。

分析：

这是典型的递归问题。以f(n)表示共有的跳法，可以先跳一级或是先跳2级，则问题转换为需要求解f(n-1)和f(n-2)。

当n=1是只有一种跳；当n=2时有两种跳法；当n>=3时有，f(n) = f(n-1)+f(n-2)。其递归算法为：

NSUInteger recursionJumpNum(NSUInteger steps){

    if (steps == 1) {

        return 1;

    }

    if (steps == 2) {

        return 2;

    }

    return recursion_StepsNum(steps-1) + recursion_StepsNum(steps - 2);

}

时间复杂度分析：

问题可表示为 f(n+1) = f(n) + f(n-1),  n>= 2, f(1) = 1, f(2) = 2

设

有

==> 

设  则

又

==>

==> 

非递归算法：

尾递归形式

NSUInteger recursionJumpNum (NSUInteger steps){

    NSUInteger count = 0;

    if (steps == 1) {

        count =  1;

    }else if (steps == 2) {

        count = 2;

    }else if (steps > 2) {

        NSUInteger num1 = nonrecursionJumpNum(steps - 1);

        NSUInteger num2 = nonrecursionJumpNum(steps - 2);

        count = num1 + num2;

    }

    return count;

}

非递归形式

NSUInteger nonrecursionJumpNum(const NSUInteger steps){

    NSUInteger index = 1;

    NSUInteger count = 0;

    NSUInteger count_minus_one = 0;

    NSUInteger count_minus_two = 0;

    

    while (index <= steps) {

        if (index == 1) {

            count =  1;

        }else if (index == 2) {

            count_minus_one = count;

            count = 2;

        }else if (index > 2) {

            count_minus_two = count_minus_one;

            count_minus_one = count;

            count = count_minus_one + count_minus_two;

        }

        index++;

    }

    return count;

}

非递归优化

NSUInteger nonrecursionJumpNum(const NSUInteger steps){

    NSUInteger index = 1;

    NSUInteger count = 0;

    NSUInteger count_minus_one = 0;

    NSUInteger count_minus_two = 0;

    

    while (index <= steps) {

        if (index > 2) {

            count_minus_two = count_minus_one;

            count_minus_one = count;

            count = count_minus_one + count_minus_two;

        }else if (index == 1) {

            count =  1;

        }else if (index == 2) {

            count_minus_one = count;

            count = 2;

        }

        index++;

    }

    return count;

}

代码   https://github.com/wangjufan/algorithm_Recursion/tree/master