acm fft简单理解和相关题目

Fast Fourier Transformation FFT 

快速傅里叶变换 ——一种算法

它是解决DFT的

Discrete Fourier transform DFT 

离散傅里叶变换 ——一种过程

 我不知道fft具体是怎么做的，我会通过下面这几个例子来告诉你fft是做什么的；

你可以理解为就是在Θ(nlogn)O（nlogn）的时间算出两个多项式相乘。

多项式乘法

A*B=C

A = a0 + a1 x^1 + a2 x^2 + a（n-1） x^（n-1）

B = b0 + ...

C = c0 + ... +c(n-1) x^(n-1) + cn x^n + ... +c(2n-1) x^(2n-1)

我模拟一下 就是 A，B分别存在一个数组里，i次项的系数j存在a[i]里面，（a[i] = j）,比如 A：a[0] = a0, a[1] = a1, b[0] = b1;

然后就可以在O（nlogn）的时间算出C；c[0] = a0+b0........

下面看具体经典题目

一： hdu 1402 求大数乘法(O（nlogn）).

就是裸的fft ，一般的高精度乘法复杂度是O（n^2）.

先用fft求出每位的值，在进位，具体看代码注释；

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <string.h>#include <algorithm>#include <math.h>using namespace std;typedef long long LL;// 这一大坨fft的代码实现不要动的const double PI = acos(-1.0);struct Complex {    double x, y;    Complex(double _x = 0.0, double _y = 0.0) {        x = _x;        y = _y;    }    Complex operator - (const Complex &b)const {        return Complex(x-b.x, y-b.y);    }    Complex operator + (const Complex &b)const {        return Complex(x+b.x, y+b.y);    }    Complex operator * (const Complex &b)const {        return Complex(x*b.x-y*b.y, x*b.y+y*b.x);    }};void change(Complex y[], int len) {    int i, j, k;    for(i = 1, j = len/2; i < len-1; i++) {        if (i < j) swap(y[i], y[j]);        k = len/2;        while(j >= k) {            j -= k;            k /= 2;        }        if (j < k) j += k;    }}void fft(Complex y[], int len, int on) {    change(y, len);    for(int h = 2; h <= len; h <<= 1) {        Complex wn(cos(-on*2*PI/h), sin(-on*2*PI/h));        for(int j = 0; j < len; j += h) {            Complex w(1, 0);            for(int k = j; k < j+h/2; k++) {                Complex u = y[k];                Complex t = w*y[k+h/2];                y[k] = u+t;                y[k+h/2] = u-t;                w = w*wn;            }        }    }    if (on == -1)        for(int i = 0; i < len; i++)        y[i].x /= len;}//到这里//下面这些数组的大小不是乱开的，下面会讲const int MAXN = 50002;LL num[MAXN<<2];//保存结果的数组，要开4*MAXNComplex x1[MAXN<<2], x2[MAXN<<2];//模板里需要的数组，也要开4*MAXNchar str1[MAXN], str2[MAXN];int main() {    //freopen("in.txt", "r", stdin);    while (scanf("%s%s", str1, str2) == 2) {        int ls1 = strlen(str1), ls2 = strlen(str2);        int len = 1;        //下面也是模板，别问为什么就是这样的        while (len < 2*ls1 || len < 2*ls2) len <<= 1;//上面数组的大小是因为这里        int i;        for(i = 0; i < ls1; i++) {            x1[i] = Complex(str1[ls1-i-1]-'0', 0);        }        for(; i < len; i++)            x1[i] = Complex(0, 0);        fft(x1, len, 1);        for(i = 0; i < ls2; i++) {            x2[i] = Complex(str2[ls2-i-1]-'0', 0);        }        for(; i < len; i++)            x2[i] = Complex(0, 0);        fft(x2, len, 1);        for(i = 0; i < len; i++)            x1[i] = x1[i]*x2[i];        fft(x1, len, -1);        for(i = 0; i < len; i++) {            num[i] = (LL)(x1[i].x+0.5);        }        //到这里num里面保存的就是结果        for(i = 0; i < len; i++) { //进位            num[i+1] += num[i]/10;            num[i] %= 10;        }        len = ls1+ls2-1;        while(num[len] <= 0 && len > 0) len--;//去前置零；        for(i = len; i >= 0; i--)            printf("%I64d", num[i]);        puts("");    }    return 0;}

例二： Gym - 100783C https://vjudge.net/problem/Gym-100783C

题意：一个机器人打高尔夫只往一个方向打，每次只能打固定的距离，求最多两杆能打进的洞的个数；差不多可以理解为一个数列相加；

题解：利用fft算法的特点，ax * by 放在 c的第 x+y位； x，y就是那些固定的距离，x+y就是可以打进的洞；还不懂的话具体看代码；

代码：

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <string.h>#include <algorithm>#include <math.h>using namespace std;typedef long long LL;/*这里省略了fft*/const int MAXN = 400002;//注意数组大小LL num[MAXN*2];int a[MAXN/2];Complex x1[MAXN*2];int m, n;int main() {    scanf("%d", &n);    int len1 = 0;    for(int i = 1; i <= n; i++) {        scanf("%d", a+i);        num[a[i]] = 1; //这里赋值为一就好了        len1 = max(len1, a[i]+1);//找到最大值就是len1    }    num[0] = 1;//这里要赋值为1，求出1杆可以打进的洞    //下面就是套路了    int len = 1;    while (len < 2*len1) len <<= 1;    for(int i = 0; i < len1; i++)        x1[i] = Complex(num[i], 0);    for(int i = len1; i < len; i++)        x1[i] = Complex(0, 0);    fft(x1, len, 1);    for(int i = 0; i < len; i++)        x1[i] = x1[i]*x1[i];    fft(x1, len, -1);    for(int i = 0; i < len; i++) {        num[i] = (LL)(x1[i].x+0.5);    }        scanf("%d", &m);    int res = 0;    for(int i = 1; i <= m; i++) {        int t;        scanf("%d", &t);        if (num[t])//这里写起来就比较简单了            res++;    }    printf("%d\n", res);    return 0;}

例三： hdu 4609  3-idiots http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4609

题意： 给出一些边的长度，求任取3条边可以形成三角形的概率；

题解： 用古典概型；求出可以形成三角形的个数再除以总个数；

这个人解释的很好，直接看他的吧：http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2013/07/24/3210565.html