BZOJ2154: Crash的数字表格

BZOJ2154

题目要求的是

∑i=1n∑j=1mi∗jgcd(i,j)

那么我们枚举gcd(i,j)，不妨令n<m
原式变成了：

∑d=1n∑ni=1∑mj=1i∗j[gcd(i,j)==d]d

=∑d=1n∑ndi=1∑mdj=1i∗j∗d2[gcd(i,j)==1]d

=∑d=1nd∗∑i=1nd∑j=1mdi∗j[gcd(i,j)==1]

定义F(x,y)=∑ni=1∑mj=1i∗j[gcd(i,j)==1]
那么原式=∑nd=1d∗F(nd,md)
定义S(x,y)=∑xi=1∑yj=1i∗j
G(x,y,z)=∑xi=1∑yj=1∑z|gcd(i,j)i∗j=z2∗S(xz,yz)

F(x,y)=G(x,y,1)−(G(x,y,2)+G(x,y,3)+G(x,y,5)+……)+(G(x,y,6)+(G(x,y,10)……)−(G(x,y,30)+……)

F(x,y)=∑t=1xμ(t)t2S(xt,yt)

那么

ans=∑d=1nd∗∑t=1xμ(t)t2S(ntd,mtd)

令T=td

ans=∑T=1nS(n/T,m/T)∑d|TTdμ(d)d2

令f(T)=∑d|TTdμ(d)d2
f(T)是积性函数，可以线性筛。暴力枚举好像不行。。反正我自己试了T掉了。

【代码】

#include <cstdio>#include <iostream>#include <algorithm>#define N 10000005#define INF 0x7fffffff#define mod 20101009using namespace std;typedef long long ll;typedef pair<int,int> pa;int read(){    int x=0,f=1;char ch=getchar();    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}    while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}    return x*f;}int n,m;int Miu[N],p[N];ll sum[N];bool Not_Prime[N];void Get_Miu(){    Miu[1]=sum[1]=1;    for(register int i=2;i<=m;i++)    {        if(!Not_Prime[i]) p[++p[0]]=i,Miu[i]=-1,sum[i]=1LL*i*(1-i);        for(register int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=m;j++)        {            Not_Prime[i*p[j]]=1;            if(i%p[j]!=0) Miu[i*p[j]]=-Miu[i],sum[i*p[j]]=sum[i]*sum[p[j]];            else {sum[i*p[j]]=sum[i]*p[j];break;}        }    }    for(register int i=1;i<=n;i++) sum[i]=(sum[i-1]+sum[i]+mod)%mod;}ll Get_Sum(int x,int y){    return (1LL*x*(x+1)/2)%mod*((1LL*y*(y+1)/2)%mod)%mod;}int main(){    n=read(),m=read();if(n>m) swap(n,m);    Get_Miu();    int pos;ll ans=0;    for(register int i=1;i<=n;i=pos+1)    {        pos=min(n/(n/i),m/(m/i));        ans=(ans+Get_Sum(n/i,m/i)*(sum[pos]-sum[i-1]+mod))%mod;        ans=(ans+mod)%mod;    }    printf("%lld\n",ans);    return 0;}