线段树

最大值（区间修改）
总时间限制: 10000ms 单个测试点时间限制: 1000ms 内存限制: 65536kB
描述
在N（1<=n<=100000）个数A1…An组成的序列上进行M(1<=m<=100000)次操作，操作有两种：
(1)1 LR C：表示把A[L]到A[R]增加C（C的绝对值不超过10000）；
(2)2 LR：询问A[L]到A[R]之间的最大值。

输入
第一行输入N(1<=N<=100000)，表示序列的长度，接下来N行输入原始序列；接下来一行输入M(1<=M<=100000)表示操作的次数，接下来M行，每行为1 L R C或2 L R

输出
对于每个操作(2)输出对应的答案。

样例输入

51234532 1 41 1 3 32 3 5

样例输出

46

提示
保证序列中的所有的数都在longint范围

这道题是最基本的区间修改问题，并且只需要求最大值。在开始之前，我们先明确一下需要的数据和对应的含义。
我们需要一颗用于保存最大值的线段树tree和懒惰标记树lazy，lazy[i]的含义是i结点对应的区间中的每个值都加上lazy[i]。注意，假设我们只进行了一次1操作，那么此时如果lazy[i]不为0，则lazy[i*2]和lazy[i*2+1]必为0；反之，如果lazy[i*2]和lazy[i*2+1]不为0，那么lazy[i]必为0。因为在同一时刻我们只保存一个操作，如果需要我们再分解操作。我们把置lazy[i]为0并更新lazy[i*2]和lazy[i*2+1]等其他数据的操作叫做pushdown，即把操作从一个结点往下推，往下分解。
这么看来，tree的含义就是：如果tree[i]已经因pushdown更新，那么它代表i结点对应的区间中的最大值；如果没有更新，那就从树的根部开始一直更新下来。以上的含义还是相对抽象，让我们从代码中分析下。

先找题意声明一下变量：

const int maxn=100005;int tree[maxn*3];int lazy[maxn*3];int n,m;

由于线段树在一开始没有任何更新操作，根据定义它就代表对应区间的最大值，跟点修改线段树一样，没有特殊含义，所以我们可以递归输入建树：

void build(int node=1, int l=1, int r=n){    if(l==r)    {        scanf("%d",&tree[node]);        return;    }    int mid=(l+r)/2;    build(node<<1, l, mid);    build((node<<1)+1, mid+1, r);    tree[node]=std::max(tree[node<<1], tree[(node<<1)+1]);}

这个代码应在输入n之后，输入m之前运行，没什么好说的。

然后是操作1，我们姑且叫它change函数吧。为了节省一点栈空间，我们把待修改区间和增加的值声明为全局变量：

int g_L,g_R,g_Add;void change(int node=1, int l=1, int r=n){    if(g_L<=l && r<=g_R)    {        tree[node]+=g_Add; //这个结点对应线段的所有点都加上了g_Add，所以最大值也加g_Add         lazy[node]+=g_Add; //我们只操作这个结点，而不递归传下去，因为这时我们传下去了也用不到，所以通过lazy保存结点对应线段每个点的增加值         return;    }    int mid=(l+r)/2;    int lc=node<<1;    int rc=(node<<1)+1;    //现在要更新子结点了对吧，既然子结点的最大值还没有加上g_Add，那我们怎么知道加了后的值是多少呢？     pushdown(node); //那就更新它，把lazy记号推下去     if(g_L<=mid)        change(lc, l, mid);    if(g_R>mid)        change(rc, mid+1, r);    tree[node]=std::max(tree[lc],tree[rc]); //记住要回来更新父结点 }

既然已多次说道pushdown函数，就让我们来看看他的代码：

void pushdown(int node){    if(lazy[node])    {        lazy[node<<1]+=lazy[node];        lazy[(node<<1)+1]+=lazy[node];        tree[node<<1]+=lazy[node];        tree[(node<<1)+1]+=lazy[node];        lazy[node]=0;    }}

注意，pushdown的实质就是把操作1分解，让子结点保存分解后的操作，这样就不必进行所有的操作，因为大部分都是无效的。除了让子结点的lazy值加上父结点（当前结点）的lazy值，子结点的最大值tree也要加上lazy值。再次强调：我们的tree保存对应区间的最大值，在正常访问tree结点时，则它已经加上了该加的值，lazy是保存子结点还没有加上的值的。多领会一下。

最后是查询操作：

//使用g_L和g_Rint query(int node=1, int l=1, int r=n){    if(g_L<=l && r<=g_R)    {        return tree[node]; //注意tree[node]的含义：我们已经保证tree[node]已经更新，所以答案就是tree[node]，不要再加上lazy[node]，它是作用于子结点的     }    int mid=(l+r)/2;    int lc=node<<1;    int rc=(node<<1)+1;    pushdown(node); //查询时也要更新，以把加上的值记录在内     int ans=0x80000000;    if(g_L<=mid)        ans=std::max(ans, query(lc, l, mid));    if(g_R>mid)        ans=std::max(ans, query(rc, mid+1, r));    return ans;}

参考代码

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cmath>#include <cstring>#include <string>#include <iostream>#include <algorithm>#include <vector>#include <stack>#include <queue>#include <deque>#include <map>#include <set>using std::cin;using std::cout;using std::endl;const int maxn=100005;int tree[maxn*3];int lazy[maxn*3];int n,m;void build(int node=1, int l=1, int r=n){    if(l==r)    {        scanf("%d",&tree[node]);        return;    }    int mid=(l+r)/2;    build(node<<1, l, mid);    build((node<<1)+1, mid+1, r);    tree[node]=std::max(tree[node<<1], tree[(node<<1)+1]);}void pushdown(int node){    if(lazy[node])    {        lazy[node<<1]+=lazy[node];        lazy[(node<<1)+1]+=lazy[node];        tree[node<<1]+=lazy[node];        tree[(node<<1)+1]+=lazy[node];        lazy[node]=0;    }}int g_L,g_R,g_Add;void change(int node=1, int l=1, int r=n){    if(g_L<=l && r<=g_R)    {        tree[node]+=g_Add; //这个结点对应线段的所有点都加上了g_Add，所以最大值也加g_Add         lazy[node]+=g_Add; //我们只操作这个结点，而不递归传下去，因为这时我们传下去了也用不到，所以通过lazy保存结点对应线段每个点的增加值         return;    }    int mid=(l+r)/2;    int lc=node<<1;    int rc=(node<<1)+1;    //现在要更新子结点了对吧，既然子结点的最大值还没有加上g_Add，那我们怎么知道加了后的值是多少呢？     pushdown(node); //那就更新它，把lazy记号推下去     if(g_L<=mid)        change(lc, l, mid);    if(g_R>mid)        change(rc, mid+1, r);    tree[node]=std::max(tree[lc],tree[rc]); //记住要回来更新父结点 }//使用g_L和g_Rint query(int node=1, int l=1, int r=n){    if(g_L<=l && r<=g_R)    {        return tree[node]; //注意tree[node]的含义：我们已经保证tree[node]已经更新，所以答案就是tree[node]，不要再加上lazy[node]，它是作用于子结点的     }    int mid=(l+r)/2;    int lc=node<<1;    int rc=(node<<1)+1;    pushdown(node); //查询时也要更新，以把加上的值记录在内     int ans=0x80000000;    if(g_L<=mid)        ans=std::max(ans, query(lc, l, mid));    if(g_R>mid)        ans=std::max(ans, query(rc, mid+1, r));    return ans;}int main(){    scanf("%d",&n);    build();    scanf("%d",&m);    while(m--)    {        int operation, l, r, value;        scanf("%d%d%d", &operation, &l, &r);        if(operation==1)        {            scanf("%d", &value);            g_L=l;            g_R=r;            g_Add=value;            change();        }        else if(operation==2)        {            g_L=l;            g_R=r;            printf("%d\n",query());        }    }    return 0;}