bzoj 4305: 数列的GCD 数学

题意

给出一个长度为N的数列{a[n]}，1<=a[i]<=M(1<=i<=N)。
现在问题是，对于1到M的每个整数d，有多少个不同的数列b[1], b[2], …, b[N]，满足：
(1)1<=b[i]<=M(1<=i<=N)；
(2)gcd(b[1], b[2], …, b[N])=d；
(3)恰好有K个位置i使得a[i]<>bi
注：gcd(x1,x2,…,xn)为x1, x2, …, xn的最大公约数。
输出答案对1,000,000,007取模的值。
1<=N,M<=300000, 1<=K<=N, 1<=a[i]<=M。

分析

首先求gcd=d的序列数量可以变成求d|gcd的序列数量，然后通过容斥或反演之类的鬼东西在O(nlogn)时间内把答案求出。
那么现在要求的就是d|gcd的序列数量。
假设A中有s个元素满足d|s，那么我们要从中选出n-k个元素使得d|gcd，然后把剩下的都变成不同于原来的数且同样满足d|gcd。
设k=n-k，那么要求的东西即为Cks∗⌊md⌋n−s∗(⌊md⌋−1)s−k

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int N=300005;const int MOD=1000000007;int n,m,k,d[N],prime[N],tot,mu[N],t[N],jc[N],ny[N];bool not_prime[N];int ksm(int x,int y){    int ans=1;    while (y)    {        if (y&1) ans=(LL)ans*x%MOD;        x=(LL)x*x%MOD;y>>=1;    }    return ans;}void get_prime(int n){    mu[1]=1;    for (int i=2;i<=n;i++)    {        if (!not_prime[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-1;        for (int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)        {            not_prime[i*prime[j]]=1;            if (i%prime[j]==0) break;            mu[i*prime[j]]=-mu[i];        }    }}void prework(){    get_prime(m);    jc[0]=ny[0]=1;    for (int i=1;i<=n;i++)    {        jc[i]=(LL)jc[i-1]*i%MOD;        ny[i]=ksm(jc[i],MOD-2);    }}int main(){    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);    k=n-k;    for (int i=1;i<=n;i++)    {        int x;        scanf("%d",&x);        t[x]++;    }    prework();    for (int i=1;i<=m;i++)    {        int s=0;        for (int j=i;j<=m;j+=i) s+=t[j];        if (s>=k) d[i]=(LL)jc[s]*ny[k]%MOD*ny[s-k]%MOD*ksm(m/i,n-s)%MOD*ksm(m/i-1,s-k)%MOD;    }    for (int i=1;i<=m;i++)    {        int ans=0;        for (int j=i;j<=m;j+=i) ans=(ans+d[j]*mu[j/i])%MOD;        printf("%d",(ans+MOD)%MOD);        if (i<m) putchar(' ');    }    return 0;}