LeetCode Week14: Longest Valid Parentheses

这周实现的还是Dynamic Programming的代码，这里选择一道比较经典的题目Longest Valid Parentheses来完成题解。

题目

Given a string containing just the characters ‘(’ and ‘)’, find the length of the longest valid (well-formed) parentheses substring.

For “(()”, the longest valid parentheses substring is “()”, which has length = 2.

Another example is “)()())”, where the longest valid parentheses substring is “()()”, which has length = 4.

我的分析

       刚开始拿到这个问题的时候，犯了一个错，就是认为是找有效的()对的长度，然后就想直接用栈来解决，结果后来提交的时候，有一个case是”()(()”，如果光按照匹配的方法，长度会是4，但是Expected Output = 2，这说明只有一对()，也就是说，这道题是要找的最长连续()。

       考虑到这个情况，这个题我用了两种方法，两个方法的分析分别如下：

1、stack方法

       因为做括号匹配的时候，最开始就是想到用栈来解决，但是这个问题中需要求解的是最长连续()，那么使用栈的时候，就需要考虑当前栈中元素的位置，也就是说，我会设定一个Pair的结构体，其中包括了当前元素的位置idx（int类型）及元素的值（char类型）s。

假设现在需要判断的序列是”()(()”，那么我们的操作如下：

• 如果当前元素是’(‘，那么直接将pair对（idx,’)’）放入栈中；

• 如果当前元素是’)’，那么需要依据当前栈的内容来判断要做什么操作，假设现在遍历到序列的最后一个元素，也就是’)’:

  • • 当前栈为空，那么可以把右扩号也放入栈中，这是为了帮助后面计算长度；
  • • 当前栈不为空， 那么可以组成一对()，同时需要把栈顶的’(‘抛出栈。但是抛出栈之后，新的问题又出现了：这一对()之前还有没有连续的()对，我应该怎么来更新现在的最长的连续配对()?这个问题的解决就可以看现在的栈的状态来判断了。如果把配对的’(‘元素pop出栈后，栈为空，那么表示之前进栈的元素都已经跟组成了()对，并且当前这一对与前面的()对是连续，那么最长的()长度就应该变为当前序列的长度；如果此时栈的状态不为空，那么这一对()跟前面可能已经形成的()对就不连续了，那么就应该判断，现有的()的长度就是i-top().idx（这里并不是直接判断为2是因为存在(())的情况）；
  • • 之后可以判断是之前的长度更大，还是现在的()对更大，来动态更新最长()对的长度。

2、动态规划法
动态规划的过程就是把一个大问题划分成多个子问题来求解，这题是利用一个逆向思考的过程，思路是填充一个长度同样是length的数组dp，其中dp[i]表示从i到最后一为元素可以形成的最长的()的长度，从倒数第二个元素开始遍历（因为最后一个元素能形成的()对当然是0），如果当前元素是’(‘，那么填充这个数组的过程如下：

• 看第i+1+dp[i+1]个元素是否是’)’，如果是’)’，那么就可以组成一对’)’；这里使用dp[i+1]的原因是，存在(())的情况，如果遍历到’(‘，那么要去找从它数下去的第3个元素来判断（因为内部有一对()要跳过它们），而对于内部的()，我们是可以很容易判断出当遍历到左边的’(‘时，可以形成的最长的()对的长度就是2，那么此时应该去找j = i+1+dp[i+1]位置，即跳过下一个位置能形成的最长()长度之后的位置的值来判断是否是’)’;

• 当我们判断有一对合法的()时，我们还要看其后面的元素是否能与这一对形成一个连续的()对，如果’)’后面的元素的dp[j+1]不为0，表示后面也能形成连续的()对，当然dp[j+1]为0时就表明当前的这一对()与后面可能会有的连续()对是分开的。所以状态转移方程可以写作：dp[i]=dp[i+1]+2+dp[j+1],j+1<s.length()。

代码

1、直接使用栈的方法分析得到的代码如下：

struct Pair{    int idx;    char s;    Pair(int i,char j):idx(i),s(j){}};class Solution {public:    int longestValidParentheses(string s) {        stack<Pair>rec;        int maxlen = 0;        for(int i = 0; i < s.size();i++){            // 如果是（，那么直接push进栈            if(s[i] == '(') rec.push(Pair(i,'('));            else if(s[i] == ')'){                int cur = 0;// 现在的最长连续对                // 栈里面有元素可以匹配成一对（）                if(!rec.empty() && rec.top().s == '(')                 {                    rec.pop();                    cur = 0;                    // 如果这时栈已经清空，那么这一次的（）的长度要纳入前面的长度计算中                    // 因为前面也有连续的（）对                    if(rec.empty())                        cur = i+1;                    else                        // 栈未清空，前面残留有元素                        // 说明这一对（）与前面的（）不连续，这时的长度只能是2                        cur = i - rec.top().idx;                }                else{                    rec.push(Pair(i,')'));                }                maxlen = max(maxlen,cur);            }        }        return maxlen;    }};

2、 使用动态规划分析得到的代码如下：

class Solution {public:    int longestValidParentheses(string s) {        int len = s.length();        vector<int>dp(len,0);        int maxlen = 0;        for(int i = len-2; i >=0; i--){            if(s[i] == '('){                // 看下一个元素是否是')'                int idx = i+1+dp[i+1]; // 考虑到(())的情况                if(idx < len && s[idx] == ')')                    // 如果下一个元素是')'，那么就可以组成一对()                    // 之后判断能够与后面的元素组成多长的连续()                    dp[i] = (idx+1 < len)?2+dp[idx+1]+dp[i+1]:2+dp[i+1];            }            maxlen = max(dp[i],maxlen);        }        return maxlen;    }};