RSA算法

RSA 算法是一个很重要的加密算法，在有网络通信的地方基本都有 RSA 算法。RSA 算法的思想很容易理解，但是计算量却十分庞大，这也是为什么说 RSA 算法很安全的原因。我们通过一个简单的例子来认识一下 RSA 算法。

首先 RSA 算法要生成一个密钥对，密钥生成的步骤：

第一步：RSA 的首要任务是要选两个大素数 p，q ;比如我选择 3 和 11（实际的 RSA 算法选择的素数是很大的，这里为了方便演示，这里选择两个很小的素数）

第二步：计算 n = p*q，n 就是密钥长度，这个值越大越安全。即 n = 3*11 = 33，33写成二进制的形式是 100001，共六位，所以这里的密钥长度为 6。目前能破解的 RSA 密钥长度为 768 位。实际应用中，RSA 密钥长度一般是 1024 位，有些重要场合甚至是 2048 位

第三步：计算 n 的欧拉函数 ø(n) = (p-1)(q-1)；即 ø(n) =（3-1）*（11-1）= 20

第四步：选 e，e 满足 1 < e < ø(n)，并且 gcd[e,ø(n)] = 1（即 e 与 ø(n) 互为素数）;这里选 e = 7

第五步：求 d，根据公式 e*d ≡ 1mod[ø(n)] 可得 7*d ≡ 1mod 20，即 7d - 1 = 20β，（β∈Z），即 7d - 20β = 1。相当于求解二元一次方程 7x – 20y = 1 ，解得 x =3 ，y =1 ，即 d =3

第六步：将 n 和 e 封装成公钥，n 和 d 封装成私钥。所以公钥为（33，7）私钥为（33，3），公钥公布给所有要给自己发信息的用户，私钥自己保密

算出公钥和私钥后就可以进行加密运算了。这里有两个重要的公式

其中C为密文，M 为明文

例如我要对 19 这个明文进行加密，C=19^7 mod33=13，即明文 19 的密文位13

对方接收到密文后通过解密公式 M=C^d mod(n) 可得，M=13^3 mod33=19