算法导论程序35--动态规划（钢条切割）

求解一个如何切割钢条的问题：

公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。切割工序本身没有成本支出，公司管理层希望知道最佳的切割方案。

假设我们知道公司出售一段长度为i英寸的钢条的价格为pi（i=1,2,...,）

钢条切割问题：

给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表pi(i=1,2,...,n)，求切割钢条方案，是的销售收益rn最大。

注意：如果长度为n英寸的钢条的价格的pn足够大，最优解可能就是完全不需要切割。

长度为n英寸的钢条共有2的n-1次方种不同的切割方案，因为在距离钢条i（i=1,2,...,n-1）英寸处，我们总是可以选择切割或不切割。

如果一个最优解将钢条切割为k段（对某个1=<k<=n），那么最优切割方案：

n=i1+i2+i3+...+ik

将钢条切割为长度分别为i1,i2,...,ik的小段，得到最大收益：

rn=pi1+pi2+...+pik

更一般地，对于rn（n>=1），我们可以用更短的钢条的最优切割收益来描述它：

第一个参数pn表示不切割，直接出售长度为n英寸的钢条的方案。其他n-1个参数对应另外n-1种方案：

对每个i=1,2,...,n-1，首先将钢条切割为长度为i和n-i的两段，接着求解这两段的最优切割收益

由于无法预知哪种方案会获得最优收益，我们必须考察所有可能的i，选取其中收益最大者。

为了求解规模为n的原问题，我们先求解形式完全一样，但规模更小的子问题。即当完成首次切割后，我们将两段钢条看成两个独立的钢条切割问题实例。我们通过组合两个相关子问题的最优解。并在所有可能的两段切割方案中选取组合收益最大者，构成原问题的最优解。

最优子结构性质：

问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成，而这些子问题可以独立求解。

自顶向下递归实现：

def cut_rod(p,n):    if n==0:        return 0    q=float("-inf")    for i in range(0,n):        q=max(q,p[i]+cut_rod(p,n-i-1))    return qif __name__=='__main__':    p=[1,5,8,9,10,17,17,20,24,30]    for i in range(1,11):        print("长度为",i,"的钢条的切割最大收益为：",end='')        print(cut_rod(p,i))

运行：

>>> ==== RESTART: D:\Program Files\Python\test\algorithms\算法导论\35-cut-rod.py ====长度为 1 的钢条的切割最大收益为：1长度为 2 的钢条的切割最大收益为：5长度为 3 的钢条的切割最大收益为：8长度为 4 的钢条的切割最大收益为：10长度为 5 的钢条的切割最大收益为：13长度为 6 的钢条的切割最大收益为：17长度为 7 的钢条的切割最大收益为：18长度为 8 的钢条的切割最大收益为：22长度为 9 的钢条的切割最大收益为：25长度为 10 的钢条的切割最大收益为：30

但是，上面的程序真的效率好低呀！

使用动态规划方法求解最优钢条切割问题：

朴素递归算法之所以效率很低，是因为它反复求解相同的子问题。因此，动态规划方法仔细安排求解顺序，对每个子问题之求解一次，并将结果保存下来。如果随后再次需要此子问题的解，只需查找保存的结果，而不必重新计算。

因此，动态规划方法是付出额外的内存空间来节省计算时间，是典型的时空权衡的例子。

两种实现方式：

（1）带备忘的自顶向下方法：

def memorized_cut_rod(p,n):    r=[]    for i in range(n):        r.append(float("-inf"))    return memorized_cut_rod_aux(p,n,r)def memorized_cut_rod_aux(p,n,r):    if r[n-1]>=0:        return r[n-1]    if n==0:        q=0    else:        q=float("-inf")        for i in range(0,n):            q=max(q,p[i]+memorized_cut_rod_aux(p,n-i-1,r))    r[n-1]=q    return q

运行：

print("动态规划方法:")    for i in range(1,11):        print("长度为",i,"的钢条的切割最大收益为：",end='')        print(memorized_cut_rod(p,i))

动态规划方法:长度为 1 的钢条的切割最大收益为：1长度为 2 的钢条的切割最大收益为：5长度为 3 的钢条的切割最大收益为：8长度为 4 的钢条的切割最大收益为：10长度为 5 的钢条的切割最大收益为：13长度为 6 的钢条的切割最大收益为：17长度为 7 的钢条的切割最大收益为：18长度为 8 的钢条的切割最大收益为：22长度为 9 的钢条的切割最大收益为：25长度为 10 的钢条的切割最大收益为：30

（2）自底向上：

def bottom_up_cut_rod(p,n):    r=[]    for i in range(n+1):        r.append(float("-inf"))    r[0]=0    for j in range(n):        q=float("-inf")        for i in range(j+1):            q=max(q,p[i]+r[j-i])        r[j+1]=q    return r[n]

运行：

    print("动态规划方法2:")    for i in range(1,11):        print("长度为",i,"的钢条的切割最大收益为：",end='')        print(bottom_up_cut_rod(p,i))

动态规划方法2:长度为 1 的钢条的切割最大收益为：1长度为 2 的钢条的切割最大收益为：5长度为 3 的钢条的切割最大收益为：8长度为 4 的钢条的切割最大收益为：10长度为 5 的钢条的切割最大收益为：13长度为 6 的钢条的切割最大收益为：17长度为 7 的钢条的切割最大收益为：18长度为 8 的钢条的切割最大收益为：22长度为 9 的钢条的切割最大收益为：25长度为 10 的钢条的切割最大收益为：30

重构方法：

长度为j的钢条不仅计算最大收益rj，还保存最优解对应的第一段钢条的切割长度sj。

def extended_bottom_up_cut_rod(p,n):    r=[]    s=[]    for i in range(n+1):        r.append(float("-inf"))        s.append(float("-inf"))    r[0]=0    s[0]=0    #j+1表示钢条的长度，i+1表示第一段的长度    for j in range(n):        q=float("-inf")        for i in range(j+1):            if q<p[i]+r[j-i]:                q=p[i]+r[j-i]                s[j+1]=i+1        r[j+1]=q    return r,s

运行结果：

    print("动态规划重构方法:")    for i in range(1,11):        print("长度为",i,"的钢条的切割最大收益为：",extended_bottom_up_cut_rod(p,i)[0][i],'  ',end='')        print("第一段钢条的切割长度为：",extended_bottom_up_cut_rod(p,i)[1][i])

动态规划重构方法:长度为 1 的钢条的切割最大收益为： 1   第一段钢条的切割长度为： 1长度为 2 的钢条的切割最大收益为： 5   第一段钢条的切割长度为： 2长度为 3 的钢条的切割最大收益为： 8   第一段钢条的切割长度为： 3长度为 4 的钢条的切割最大收益为： 10   第一段钢条的切割长度为： 2长度为 5 的钢条的切割最大收益为： 13   第一段钢条的切割长度为： 2长度为 6 的钢条的切割最大收益为： 17   第一段钢条的切割长度为： 6长度为 7 的钢条的切割最大收益为： 18   第一段钢条的切割长度为： 1长度为 8 的钢条的切割最大收益为： 22   第一段钢条的切割长度为： 2长度为 9 的钢条的切割最大收益为： 25   第一段钢条的切割长度为： 3长度为 10 的钢条的切割最大收益为： 30   第一段钢条的切割长度为： 10

下面的过程，接受两个参数：价格表p和钢条长度n，然后调用extended_bottom_up_cut_rod(p,n)来静思园切割下来的每段钢条的长度s[1...n]。最后输出长度为n的钢条的完整的最优切割方案：

def print_cut_rod_solution(p,n):    (r,s)=extended_bottom_up_cut_rod(p,n)    while n>0:        print(s[n],' ',end='')        n=n-s[n]    print()

运行结果：

    for i in range(1,11):        print("长度为",i,"的钢条的切割最大收益的切割方案为：",end='')        print_cut_rod_solution(p,i)

长度为 1 的钢条的切割最大收益的切割方案为：1  长度为 2 的钢条的切割最大收益的切割方案为：2  长度为 3 的钢条的切割最大收益的切割方案为：3  长度为 4 的钢条的切割最大收益的切割方案为：2  2  长度为 5 的钢条的切割最大收益的切割方案为：2  3  长度为 6 的钢条的切割最大收益的切割方案为：6  长度为 7 的钢条的切割最大收益的切割方案为：1  6  长度为 8 的钢条的切割最大收益的切割方案为：2  6  长度为 9 的钢条的切割最大收益的切割方案为：3  6  长度为 10 的钢条的切割最大收益的切割方案为：10