Leetcode 3sumcloset, 3sum, 4sum问题详解

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3Sum Closest

Given an array S of n integers, find three integers in S such that the sum is closest to a given number, target. Return the sum of the three integers. You may assume that each input would have exactly one solution. 

For example, given array S = {-1 2 1 -4}, and target = 1.    The sum that is closest to the target is 2. (-1 + 2 + 1 = 2).

我们可以在 2sum问题 的基础上来解决3sum问题，假设3sum问题的目标是target。每次从数组中选出一个数k，从剩下的数中求目标等于target-k的2sum问题。这里需要注意的是有个小的trick：当我们从数组中选出第i数时，我们只需要求数值中从第i+1个到最后一个范围内字数组的2sum问题。
我们以选第一个和第二个举例，假设数组为A[],总共有n个元素A1，A2....An。很显然，当选出A1时，我们在子数组[A2~An]中求目标位target-A1的2sum问题，我们要证明的是当选出A2时，我们只需要在子数组[A3~An]中计算目标位target-A2的2sum问题，而不是在子数组[A1,A3~An]中，证明如下：
假设在子数组[A1,A3~An]目标位target-A2的2sum问题中，存在A1 + m = target-A2（m为A3~An中的某个数），即A2 + m = target-A1，这刚好是“对于子数组[A3~An],目标位target-A1的2sum问题”的一个解。即我们相当于对满足3sum的三个数A1+A2+m = target重复计算了。因此为了避免重复计算，在子数组[A1，A3~An]中，可以把A1去掉，再来计算目标是target-A2的2sum问题。

对于本题要求的求最接近解，只需要保存当前解以及当前解和目标的距离，如果新的解更接近，则更新解。算法复杂度为O（n^2）;
注意：我们这里是求的和是一个非确定性的数，因此2sum问题的hashtable解法就不适合这里了

 1 class Solution { 2 public: 3     int threeSumClosest(vector<int> &num, int target) { 4         int n = num.size(); 5         sort(num.begin(), num.end()); 6         int res, dis = INT_MAX; 7         for(int i = 0; i < n - 2; i++) 8         { 9             int target2 = target - num[i], tmpdis;10             int tmpres = twoSumClosest(num, i+1, target2);11             if((tmpdis = abs(tmpres - target2)) < dis)12             {13                 res = tmpres + num[i];14                 dis = tmpdis;15                 if(res == target)16                     return res;17             }18         }19         return res;20     }21     22     int twoSumClosest(vector<int> &sortedNum, int start, int target)23     {24         int head = start, tail = sortedNum.size() - 1;25         int res, dis = INT_MAX;26         while(head < tail)27         {28             int tmp = sortedNum[head] + sortedNum[tail];29             if(tmp < target)30             {31                 if(target - tmp < dis)32                 {33                     res = tmp;34                     dis = target - tmp;35                 }36                 head++;37             }38             else if(tmp > target)39             {40                 if(tmp - target < dis)41                 {42                     res = tmp;43                     dis = tmp - target;44                 }45                 tail--;46             }47             else48                 return target;49         }50         return res;51     }52 };

 

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3Sum

Given an array S of n integers, are there elements a, b, c in S such that a + b + c = 0? Find all unique triplets in the array which gives the sum of zero.

Note:

• Elements in a triplet (a,b,c) must be in non-descending order. (ie, a ≤ b ≤ c)
• The solution set must not contain duplicate triplets.                                          本文地址

 

    For example, given array S = {-1 0 1 2 -1 -4},    A solution set is:    (-1, 0, 1)    (-1, -1, 2)

 为了避免重复，对于排序后的数组，当我们枚举第一个数时，如果遇到重复的就直接跳过；当我们找到一个符合的二元组（第二个数和第三个数）时，也分别对第二个数和第三个数去重。具体见代码注释。代码中的两个函数也可以合并成一个。

 1 class Solution { 2 public: 3     vector<vector<int> > threeSum(vector<int> &num) { 4         int n = num.size(); 5         sort(num.begin(), num.end()); 6         vector<vector<int> > res; 7         for(int i = 0; i < n-2; i++) 8         { 9             if(i > 0 && num[i] == num[i-1])continue;//重复的元素不用计算10             int target2 = 0 - num[i];11             twoSum(num, i+1, target2, res);12         }13         return res;14     }15     void twoSum(vector<int> &sortedNum, int start, int target, vector<vector<int> >&res)16     {17         int head = start, tail = sortedNum.size() - 1;18         while(head < tail)19         {20             int tmp = sortedNum[head] + sortedNum[tail];21             if(tmp < target)22                 head++;23             else if(tmp > target)24                 tail--;25             else26             { ;27                 res.push_back(vector<int>{sortedNum[start-1], sortedNum[head], sortedNum[tail]});28                 29                 //为了防止出现重复的二元组，使结果等于target30                 int k = head+1;31                 while(k < tail && sortedNum[k] == sortedNum[head])k++;32                 head = k;33                 34                 k = tail-1;35                 while(k > head && sortedNum[k] == sortedNum[tail])k--;36                 tail = k;37             }38         }39     }40 };

 

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4Sum

Given an array S of n integers, are there elements a, b, c, and d in S such that a + b + c + d = target? Find all unique quadruplets in the array which gives the sum of target.

Note:

• Elements in a quadruplet (a,b,c,d) must be in non-descending order. (ie, a ≤ b ≤ c ≤ d)
• The solution set must not contain duplicate quadruplets.

 

    For example, given array S = {1 0 -1 0 -2 2}, and target = 0.    A solution set is:    (-1,  0, 0, 1)    (-2, -1, 1, 2)    (-2,  0, 0, 2)

算法1：我们可以仿照3sum的解决方法。这里枚举第一个和第二个数，然后对余下数的求2sum，算法复杂度为O（n^3）,去重方法和上一题类似

 1 class Solution { 2 public: 3     vector<vector<int> > fourSum(vector<int> &num, int target) { 4         int n = num.size(); 5         vector<vector<int> > res; 6         sort(num.begin(), num.end()); 7         for(int i = 0; i < n-3; i++) 8         { 9             if(i > 0 && num[i] == num[i-1])continue;//防止第一个元素重复10             for(int j = i+1; j < n-2; j++)11             {12                 if(j > i+1 && num[j] == num[j-1])continue;//防止第二个元素重复13                 int target2 = target - num[i] - num[j];14                 int head = j+1, tail = n-1;15                 while(head < tail)16                 {17                     int tmp = num[head] + num[tail];18                     if(tmp > target2)19                         tail--;20                     else if(tmp < target2)21                         head++;22                     else23                     {24                         res.push_back(vector<int>{num[i], num[j], num[head], num[tail]});25                         //为了防止出现重复的二元组，使结果等于target226                         int k = head+1;27                         while(k < tail && num[k] == num[head])k++;28                         head = k;29                         30                         k = tail-1;31                         while(k > head && num[k] == num[tail])k--;32                         tail = k;33                     }34                 }35             }36         }37         return res;38     }39 };

算法2：O（n^2）的算法，和前面相当，都是先对数组排序。我们先枚举出所有二个数的和存放在哈希map中，其中map的key对应的是二个数的和，因为多对元素求和可能是相同的值，故哈希map的value是一个链表（下面的代码中用数组代替），链表每个节点存的是这两个数在数组的下标；这个预处理的时间复杂度是O（n^2）。接着和算法1类似，枚举第一个和第二个元素，假设分别为v1,v2, 然后在哈希map中查找和为target-v1-v2的所有二元对（在对应的链表中），查找的时间为O（1），为了保证不重复计算，我们只保留两个数下标都大于V2的二元对（其实我们在前面3sum问题中所求得的三个数在排序后的数组中下标都是递增的），即时是这样也有可能重复：比如排好序后数组为-9 -4 -2 0 2 4 4，target = 0，当第一个和第二个元素分别是-4，-2时，我们要得到和为0-（-2）-（-4） = 6的二元对，这样的二元对有两个,都是(2,4)，且他们在数组中的下标都大于-4和-2，如果都加入结果，则(-4,-2,2,4)会出现两次，因此在加入二元对时，要判断是否和已经加入的二元对重复（由于过早二元对之前数组已经排过序，所以两个元素都相同的二元对可以保证在链表中是相邻的，链表不会出现(2,4)->(1,5)->(2,4)的情况，因此只要判断新加入的二元对和上一个加入的二元对是否重复即可），因为同一个链表中的二元对两个元素的和都是相同的，因此只要二元对的一个元素不同，则这个二元对就不同。我们可以认为哈希map中key对应的链表长度为常数，那么算法总的复杂度为O（n^2）

 1 class Solution { 2 public: 3     vector<vector<int> > fourSum(vector<int> &num, int target) { 4         int n = num.size(); 5         vector<vector<int> > res; 6         unordered_map<int, vector<pair<int, int> > >pairs; 7         pairs.reserve(n*n); 8         sort(num.begin(), num.end()); 9         10         for(int i = 0; i < n; i++)11             for(int j = i+1 ; j < n; j++)12                 pairs[num[i]+num[j]].push_back(make_pair(i,j));13         14         for(int i = 0; i < n - 3; i++)15         {16             if(i != 0 && num[i] == num[i-1])continue;//防止第一个元素重复17             for(int j = i+1; j < n - 2; j++)18             {19                 if(j != i+1 && num[j] == num[j-1])continue;//防止第二个元素重复20                 if(pairs.find(target - num[i] - num[j]) != pairs.end())21                 {22                     vector<pair<int, int>> &sum2 = pairs[target - num[i] - num[j]];23                     bool isFirstPush = true;24                     for(int k = 0; k < sum2.size(); k++)25                     {26                         if(sum2[k].first <= j)continue;//保证所求的四元组的数组下标是递增的27                         if(isFirstPush || (res.back())[2] != num[sum2[k].first])28                         {29                             res.push_back(vector<int>{num[i], num[j], num[sum2[k].first], num[sum2[k].second]});30                             isFirstPush = false;31                         }32                     }33                 }34             }35         }36         37         return res;38     }39 };

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对于k-sum问题，我们可以不断的转化为k-1 sum, k-2 sum 直到2sum；也可以像4sum问题的hashmap解法一样，分成若干个2sum问题。可以参看这篇文章：

k sum problem （k 个数的求和问题）