矩阵求导术（上）
转自知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748
矩阵求导的技术，在统计学、控制论、机器学习等领域有广泛的应用。鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱无绪，本文来做个科普，分作两篇，上篇讲标量对矩阵的求导术，下篇讲矩阵对矩阵的求导术。本文使用小写字母x表示标量，粗体小写字母x 表示向量，大写字母X表示矩阵。
首先来琢磨一下定义，标量f对矩阵X的导数，定义为
∂f∂X:=[∂f∂Xij]
即f对X逐元素求导排成与X尺寸相同的矩阵。然而，这个定义在计算中并不好用，实用上的原因是在对较复杂的函数难以逐元素求导；哲理上的原因是逐元素求导破坏了整体性。试想，为何要将f看做矩阵X而不是各元素
Xij的函数呢？答案是用矩阵运算更整洁。所以在求导时不宜拆开矩阵，而是要找一个从整体出发的算法。为此，我们来回顾，一元微积分中的导数（标量对标量的导数）与微分有联系：
df=f′(x)dx；多元微积分中的梯度（标量对向量的导数）也与微分有联系：
df=∑i∂f∂xidxi=∂f∂xTdx
这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了梯度
∂f∂x与微分的联系；受此启发，我们将矩阵导数与微分建立联系：
df=∑i,j∂f∂XijdXij=tr(∂f∂XTdX)
这里tr代表迹(trace)是方阵对角线元素之和，满足性质：对尺寸相同的矩阵A,B，
tr(ATB)=∑i,jAijBij，这用泛函分析的语言来说
tr(ATB)是矩阵A,B的内积，因此上式与原定义相容。
然后来建立运算法则。回想遇到较复杂的一元函数如f=log(2+sinx)ex√，我们是如何求导的呢？通常不是从定义开始求极限，而是先建立了初等函数求导和四则运算、复合等法则，再来运用这些法则。故而，我们来创立常用的矩阵微分的运算法则：
加减法：d(X±Y)=dX±dY；矩阵乘法：d(XY)=dXY+XdY；转置：d(XT)=(dX)T；迹：dtr(X)=tr(dX)。
逆：dX−1=−X−1dXX−1。此式可在XX−1=I两侧求微分来证明。
行列式：d|X|=tr(X#dX)，其中X#表示X的伴随矩阵，在X可逆时又可以写作d|X|=|X|tr(X−1dX)。此式可用Laplace展开来证明，详见张贤达《矩阵分析与应用》第279页。
逐元素乘法：d(X⊙Y)=dX⊙Y+X⊙dY，⊙表示尺寸相同的矩阵X,Y逐元素相乘。
逐元素函数：dσ(X)=σ′(X)⊙dX，σ(X)=[σ(Xij)]是逐元素运算的标量函数。
我们试图利用矩阵导数与微分的联系df=tr(∂f∂XTdX)，在求出左侧的微分df后，该如何写成右侧的形式并得到导数呢？这需要一些迹技巧(trace trick)：
标量套上迹：a=tr(a)。
转置：tr(AT)=tr(A)。
线性：tr(A±B)=tr(A)±tr(B)。
矩阵乘法交换：tr(AB)=tr(BA)。两侧都等于∑i,jAijBji。
矩阵乘法/逐元素乘法交换：tr(AT(B⊙C))=tr((A⊙B)TC)。两侧都等于∑i,jAijBijCij。
观察一下可以断言，若标量函数f是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对f求微分，再使用迹技巧给df套上迹并将其它项交换至dX左侧，即能得到导数。
在建立法则的最后，来谈一谈复合：假设已求得∂f∂Y，而Y是X的函数，如何求∂f∂X呢？在微积分中有标量求导的链式法则∂f∂x=∂f∂y∂y∂x，但这里我们不能沿用链式法则，因为矩阵对矩阵的导数∂Y∂X截至目前仍是未定义的。于是我们继续追本溯源，链式法则是从何而来？源头仍然是微分。我们直接从微分入手建立复合法则：先写出df=tr(∂f∂YTdY)，再将dY用dX表示出来代入，并使用迹技巧将其他项交换至dX左侧，即可得到∂f∂X。
接下来演示一些算例。特别提醒要依据已经建立的运算法则来计算，不能随意套用微积分中标量导数的结论，比如认为AX对X的导数为A，这是没有根据、意义不明的。
例1：f=aTXb，求∂f∂X。
解：先使用矩阵乘法法则求微分：df=aTdXb，再套上迹并做交换：df=tr(aTdXb)=tr(baTdX)，对照导数与微分的联系，得到∂f∂X=abT。
注意：这里不能用∂f∂X=aT∂X∂Xb=?，导数与乘常数矩阵的交换是不合法则的运算（而微分是合法的）。有些资料在计算矩阵导数时，会略过求微分这一步，这是逻辑上解释不通的。
例2【线性回归】：l=∥Xw−y∥2，求∂l∂w。
解：严格来说这是标量对向量的导数，不过可以把向量看做矩阵的特例。将向量范数写成l=(Xw−y)T(Xw−y)，求微分，使用矩阵乘法、转置等法则：dl=(Xdw)T(Xw−y)+(Xw−y)T(Xdw)=2(Xw−y)TXdw。对照导数与微分的联系，得到∂l∂w=2XT(Xw−y)。
例3【多元logistic回归】：l=−yTlogsoftmax(Wx)，求∂l∂W。其中y是除一个元素为1外其它元素为0的向量；softmax(a)=exp(a)1Texp(a)，其中exp(a)表示逐元素求指数，1代表全1向量。
解：首先将softmax函数代入并写成
l=−yT(log(exp(Wx))−1log(1Texp(Wx)))=−yTWx+log(1Texp(Wx))
这里要注意向量除标量求逐元素log满足
log(b/c)=log(b)−1log(c)
以及
y满足
yT1=1。求微分，使用矩阵乘法、逐元素函数等法则：
dl=−yTdWx+1T(exp(Wx)⊙(dWx))1Texp(Wx)
再套上迹并做交换，其中第二项的分子是
tr(1T(exp(Wx)⊙(dWx)))=tr((1⊙exp(Wx))TdWx)=tr(exp(Wx)TdWx)
，故
dl=tr(−yTdWx+exp(Wx)TdWx1Texp(Wx))=tr(x(softmax(Wx)−y)TdW)
。对照导数与微分的联系，得到
∂l∂W=(softmax(Wx)−y)xT。
另解：定义a=Wx，则l=−yTlogsoftmax(a)，先如上求出∂l∂a=softmax(a)−y，再利用复合法则：dl=tr(∂l∂aTda)=tr(∂l∂aTdWx)=tr(x∂l∂aTdW)，得到∂l∂W=∂l∂axT。
例4【方差的最大似然估计】：样本x1,…,xn∼N(μ,Σ)，其中Σ是对称正定矩阵，求方差Σ的最大似然估计。写成数学式是：l=log|Σ|+1n∑ni=1(xi−x¯)TΣ−1(xi−x¯)，求∂l∂Σ的零点。
解：首先求微分，使用矩阵乘法、行列式、逆等运算法则，第一项是dlog|Σ|=|Σ|−1d|Σ|=tr(Σ−1dΣ)，第二项是1n∑ni=1(xi−x¯)TdΣ−1(xi−x¯)=−1n∑ni=1(xi−x¯)TΣ−1dΣΣ−1(xi−x¯)。再给第二项套上迹做交换：dl=tr((Σ−1−Σ−1SnΣ−1)dΣ)，其中Sn:=1n∑ni=1(xi−x¯)(xi−x¯)T定义为样本方差。对照导数与微分的联系，有∂l∂Σ=(Σ−1−Σ−1SnΣ−1)T，其零点即Σ的最大似然估计为Σ=Sn。
最后一例留给经典的神经网络。神经网络的求导术是学术史上的重要成果，还有个专门的名字叫做BP算法，我相信如今很多人在初次推导BP算法时也会颇费一番脑筋，事实上使用矩阵求导术来推导并不复杂。为简化起见，我们推导二层神经网络的BP算法。
例5【二层神经网络】：
l=−yTlogsoftmax(W2σ(W1x))
求
∂l∂W1和∂l∂W2
其中
y是除一个元素为1外其它元素为0的向量，
softmax(a)=exp(a)1Texp(a)同例3，
σ(⋅)是逐元素
sigmoid函数
σ(a)=11+exp(−a)。
解：定义a1=W1x，h1=σ(a1)，a2=W2h1，则l=−yTlogsoftmax(a2)。在例3中已求出∂l∂a2=softmax(a2)−y。使用复合法则，注意此处h1,W2都是变量：
dl=tr(∂l∂a2Tda2)=tr(∂l∂a2TdW2h1)+tr(∂l∂a2TW2dh1)
，使用矩阵乘法交换的迹技巧从第一项得到
∂l∂W2=∂l∂a2hT1，从第二项得到
∂l∂h1=WT2∂l∂a2。接下来求
∂l∂a1，继续使用复合法则，并利用矩阵乘法和逐元素乘法交换的迹技巧：
tr(∂l∂h1Tdh1)=tr(∂l∂h1T(σ′(a1)⊙da1))=tr((∂l∂h1⊙σ′(a1))Tda1)
得到
∂l∂a1=∂l∂h1⊙σ′(a1)。为求
∂l∂W1再用一次复合法则：
tr(∂l∂a1Tda1)=tr(∂l∂a1TdW1x)=tr(x∂l∂a1TdW1)
得到
∂l∂W1=∂l∂a1xT
下篇见https://zhuanlan.zhihu.com/p/24863977。
