一道狄利克雷卷积模板题的组合做法

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题目描述：

给定f(x)在[1,n]上的取值，求函数：

g(x)=∑i1|x∑i2|i1…∑iK|iK−1f(iK)

在[1,n]上的取值。

狄利克雷卷积做法

容易发现，g=1k×f，直接用狄利克雷卷积快速幂即可。

组合做法

显然，p的所有因子在整除关系|下构成一个偏序，可以等价地转化为一张带自环而无其他环的图。则从i1=p开始的序列i1,i2,…,ik与有向无环图上从p开始长度为k的路径一一对应。

考虑求从p开始长度为k的路径所有终点位置的和h[p][k]，容易写出方程：

h[p][k]=∑i|ph[i][k−1]h[p][1]=dat[p]

然而这个dp的状态规模是O(n2)的，考虑原因：存在很长的链是因为可以多次在一个数上重复（即在自环上走）。设H[p][k]为长度为从p开始长度为k的所有不经过自环的终点位置的和，则：

H[p][k]=∑i|p,i<pH[i][k]

显然k≤lgK，现在向路径上插入自环。考虑H[n][p]对h[n][K]的贡献，p≤K。需要在p个位置上插入K−p个自环，用隔板法分析可知为：(p+(K−p)−1p−1)=(K−1p−1)，因此：

h[n][K]=∑pH[n][p](K−1p−1)

而答案g(n)等于n的所有因子的h[n][K]的和，即：

g(n)=∑i|nh[i][K]

自此问题得以解决。复杂度O(nlg2n)。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int MAXN = 100005;struct node {    int to, next;} edge[MAXN*20];int head[MAXN], top = 0; inline void push(int i, int j){ edge[++top] = (node){j, head[i]}, head[i] = top; }int n, k;void init(){    for (register int i = 1; i <= 100000; i++)        for (register int j = 2; j*i <= 100000; j++)            push(j*i, i);}long long f[MAXN][20], a[MAXN];const long long mod = 1000000007ll;long long fac[MAXN], inv[MAXN], g[MAXN], g2[MAXN];long long power(int a, long long n){    if (n == 0) return 1;    long long b = a, ans = 1;    for (int k = 0; k <= 30; k++) {        if (n&(1ll<<k)) (ans *= b) %= mod;        (b *= b) %= mod;    }    return ans;}inline long long choose(int K, int k){ return fac[K]*inv[k]%mod*inv[K-k]%mod; }void init_c(){       inv[0] = 1;    for (int i = 1; i <= 100000; i++) inv[i] = (inv[i-1]*power(i, mod-2))%mod;    fac[0] = 1;    for (int i = 1; i <= 100000; i++) (fac[i] = fac[i-1]*i) %= mod;}void dp(){    scanf("%d%d", &n, &k);    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &f[i][1]);    for (int j = 2; j <= 17; j++)        for (register int i = 1; i <= n; i++) {            f[i][j] = 0;            for (register int k = head[i]; k; k = edge[k].next) {                int to = edge[k].to;                (f[i][j] += f[to][j-1]) %= mod;            }        }    for (register int i = 1; i <= n; i++) {        long long ans = 0;        for (register int j = 1; j <= 17; j++)            (ans += f[i][j]*choose(k-1, j-1)%mod) %= mod;        g[i] = ans;    }// cerr << endl;    memset(g2, 0, sizeof g2);    for (register int i = 1; i <= n; i++)         for (register int j = 1; j*i <= n; j++)            (g2[j*i] += g[i]) %= mod;    for (int i = 1; i <= n; i++)        printf("%lld ", g2[i]);    puts("");}int main(){    freopen("b.in", "r" , stdin);    freopen("b.out", "w", stdout);    init();    init_c();    int T; scanf("%d", &T);    while (T--) dp();    return 0;}