20170531_动态优化的一个小例子

20170531_动态优化的一个小例子

转自：http://blog.csdn.net/baidu_28312631/article/details/47418773

  动态规划相信大家都知道，动态规划算法也是新手在刚接触算法设计时很苦恼的问题，有时候觉得难以理解，但是真正理解之后，就会觉得动态规划其实并没有想象中那么难。网上也有很多关于讲解动态规划的文章，大多都是叙述概念，讲解原理，让人觉得晦涩难懂，即使一时间看懂了，发现当自己做题的时候又会觉得无所适从。我觉得，理解算法最重要的还是在于练习，只有通过自己练习，才可以更快地提升。话不多说，接下来，下面我就通过一个例子来一步一步讲解动态规划是怎样使用的，只有知道怎样使用，才能更好地理解，而不是一味地对概念和原理进行反复琢磨。

数字三角形

在下面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，
    使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或 右下走。
    只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。
    三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99。
 输入格式：
5      //表示三角形的行数 

        //接下来输入三角形
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
要求输出最大和30。

接下来，我们来分析一下解题思路：

    首先，肯定得用二维数组来存放数字三角形

    然后我们用D( r, j) 来表示第r行第 j 个数字(r,j从1开始算)

    我们用MaxSum(r, j)表示从D(r,j)到底边的各条路径中，最佳路径的数字之和。

    因此，此题的最终问题就变成了求 MaxSum(1,1)

当我们看到这个题目的时候，首先想到的就是可以用简单的递归来解题：

    D(r, j)出发，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故对于N行的三角形，我们可以写出如下的递归式：

#include <iostream>    #include <algorithm>   #define MAX 101    using namespace std;   int D[MAX][MAX];    int n;    int MaxSum(int i, int j){          if(i==n)            return D[i][j];          int x = MaxSum(i+1,j);          int y = MaxSum(i+1,j+1);          return max(x,y)+D[i][j];    }  int main(){          int i,j;          cin >> n;          for(i=1;i<=n;i++)             for(j=1;j<=i;j++)                      cin >> D[i][j];          cout << MaxSum(1,1) << endl;    }   

对的，代码运行超时了，为什么会超时呢？

就拿第三行数字1来说，当我们计算从第2行的数字3开始的MaxSum时会计算出从1开始的MaxSum，当我们计算从第二行的数字8开始的MaxSum的时候又会计算一次从1开始的MaxSum，也就是说有重复计算。这样就浪费了大量的时间。也就是说如果采用递规的方法，深度遍历每条路径，存在大量重复计算。则时间复杂度为 2的n次方,对于 n = 100 行，肯定超时。 

    接下来，我们就要考虑如何进行改进，我们自然而然就可以想到如果每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用到其值的时候直接取用，则可免去重复计算。那么可以用n方的时间复杂度完成计算。因为三角形的数字总数是 n(n+1)/2。

根据这个思路，我们就可以将上面的代码进行改进，使之成为记忆递归型的动态规划程序：

//在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，//使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或 右下走。//只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。//三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99。// 输入格式：//    5      //表示三角形的行数    接下来输入三角形//7//3 8//8 1 0//2 7 4 4//4 5 2 6 5//    要求输出最大和。#include<iostream>#include<vector>#include<string>#include<algorithm>using namespace std;const int SIZE=200;int main(void){int num[SIZE][SIZE]={0};int n=0;cout<<"请输入三角形的行数:";cin>>n;for(int i=1; i<=n; ++i)for(int j=1; j<=i; ++j)cin>>num[i][j];int res=0;if(n<=0)return 0;if(n==1)return num[1][1];//这是动态规划问题：DP问题//设计一个结果表，并初始化。i和j均从1开始。//maxsum[i][j]表示：从num[i][j]数字开始向下直到底端 所对应的最大路径和值。//则该递推表达式是：maxsum[i][j]=max( maxsum[i+1][j],maxsum[i+1][j+1] )+num[i][j]int maxsum[SIZE][SIZE]={0};for(int i=1; i<=n; ++i)maxsum[n][i]=num[n][i];//根据递推公式求解表格中各个数据for(int i=n-1; i>=1; --i){for(int j=1; j<=i; ++j)maxsum[i][j]=max( maxsum[i+1][j],maxsum[i+1][j+1] )+num[i][j];}res=maxsum[1][1];cout<<res<<endl;system("pause");return 0;}

虽然在短时间内就AC了。但是，我们并不能满足于这样的代码，因为递归总是需要使用大量堆栈上的空间，很容易造成栈溢出，我们现在就要考虑如何把递归转换为递推，让我们一步一步来完成这个过程。

接下来，我们就进行一下总结：

    递归到动规的一般转化方法

    递归函数有n个参数，就定义一个n维的数组，数组的下标是递归函数参数的取值范围，数组元素的值是递归函数的返回值，这样就可以从边界值开始， 逐步填充数组，相当于计算递归函数值的逆过程。

    动规解题的一般思路：

    1. 将原问题分解为子问题

•     把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同或类似，只不过规模变小了。子问题都解决，原问题即解决(数字三角形例）。
•     子问题的解一旦求出就会被保存，所以每个子问题只需求解一次。
  

    2.确定状态

•     在用动态规划解题时，我们往往将和子问题相关的各个变量的一组取值，称之为一个“状 态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题， 所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状 态”所对应的子问题的解。
•     所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。 在数字三角形的例子里，一共有N×(N+1)/2个数字，所以这个问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。

    整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需时间。在数字三角形里每个“状态”只需要经过一次，且在每个状态上作计算所花的时间都是和N无关的常数。

    3.确定一些初始状态（边界状态）的值

    以“数字三角形”为例，初始状态就是底边数字，值就是底边数字值。

    4. 确定状态转移方程

     定义出什么是“状态”，以及在该“状态”下的“值”后，就要找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”，求出另一个“状态”的“值”(递推型)。状态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方程”。

    数字三角形的状态转移方程:

   

能用动规解决的问题的特点

    1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的 子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结 构性质。

    2) 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没有关系。

另外：这篇博客也是十分值得阅读！！！

http://blog.csdn.net/u013445530/article/details/45645307

白话算法之【动态规划入门】