朴素贝叶斯

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朴素贝叶斯

贝叶斯定理

设\( X \)是代表一条数据，由\( n \)个属性构成；\( H \)为某种假设，如数据\( X \)属于某个特定的类\( C \)。\( P(H|X)\) 是在已知\( X \)的几个属性下，\( X \)属于某个类\( C \)的概率。贝叶斯定理如下：

P(H|X)=P(X|H)P(H)P(X)

其中，\( P(H|X)\)是在条件\(X\)下，\(H\)的后验概率，\( P(H)\)是\(H\)的先验概率。

朴素贝叶斯(Naive Bayesian)

1. 设\(D\)是包含数据和其所属类的集合。每条数据由n维属性向量\(X = { x_1,x_2,\ldots,x_n}\)表示。
2. 假设数据集\(D\)有m个类\( C_1,C_2,\ldots,C_m \)，用朴素贝叶斯预测某一条数据\(X\)属于哪一类就变成了概率问题，即属于哪一类的概率最大。
   
   P(Ci|X)=P(X|Ci)P(Ci)P(X)
   
   由于\(P(X)\)对于所有类为常数，所以只需要求出最大的\(P(X|C_i)P(C_i)\)。
3. 如果类的先验概率未知，通常假定属于哪个类是等概率的，即\(P(C_1)=P(C_2)=\cdots=P(C_m)\)，否则可以用\(P(C_i)=|C_i|/|D|\)来估计。
4. 在属性很多的情况下，计算\( P(X|C_i) \)的开销可能会非常大，为了降低开销，可以做类条件独立的朴素假定。因此有如下等式
   
   P(X|Ci)=∏k=1nP(xk|Ci)=p(x1|Ci)p(x2|Ci)⋯p(xn|Ci)
   
   对于数据的每个属性\(X_k\)，考察其值是离散的还是连续的。
   
   • 如果\(X_k\)是离散的，则\( P(x_i|C_k) \)为数据集\(D\)中属于\(C_i\)类且其\(X_k)属性值为\( x_k\)的数据的数量除以属于\(C_i\)类数据的数量。
   • 如果\(X_k\)是连续的，通常假定此连续的属性值是服从均值为\(\mu\)，标准差为\( \sigma \)的高斯分布，由下式定义
     
     g(x,μ,σ)=12π−−√σe−(x−μ)22σ2
     
     
     P(xk|Ci)=g(xk,μCi,σCi)
     
     其中\(\mu_{C_i}\)和\(\sigma_{C_i}\)是属于\(C_i\)类数据属性\(X_k\)均值和标准差。
5. 对于每个类\(C_i\) 计算\( P(X|C_i)P(C_i) \)最后得出最大的\(C_i\)就是\(X\)的预测所属类

拉普拉斯校准

如果对类\(C_1\)的数据，其属性值\(x_1=1\)的数量为0，即某一项\(P(x_1|C_i)=0\)，就会导致P(X|C_i)=0，不管其它后验概率\(P(x_{2\ldots n}|C_i)\)是多少。为了避免这种情况发生，使用拉普拉斯校准:

如果对q个计数都加上1，则必须记住在用于计算概率的对应分母上加上q。

例如：假设在某数据集\(D\)中，属于类\(C_1\)(有购买计算机行为)的数据有10000条，其中对于属性\(X_1\)(收入等级)，收入低的数据有0条，收入中等的数据有8000条，收入高的数据有2000条。

不使用拉普拉斯校准的情况下，这些事件发生的概率为0，0.8，0.2。

使用拉普拉斯校准分别为\(\frac{0+1}{10000+3}\)，\(\frac{8000+1}{10000+3}\)，\(\frac{2000+1}{10000+3}\)。

校准后的概率与未校准的概率很接近，而且避免了0概率值。