史上最强图解Treap总结， 不是浅谈！

大家都很强， 可与之共勉。

Treap = Tree + Heap.
树堆，在数据结构中也称Treap，是指有一个随机附加域满足堆的性质的二叉搜索树，其结构相当于以随机数据插入的二叉搜索树。其基本操作的期望时间复杂度为O(logn)。相对于其他的平衡二叉搜索树，Treap的特点是实现简单，且能基本实现随机平衡的结构。

Treap 维护堆的性质的方法只用到了左旋和右旋， 编程复杂度比Splay小一点， 并且在两者可完成的操作速度有明显优势

开始

每一个节点需要保存至少四个信息，当前节点的数值 ( val )， 优先级 ( key )， 左右儿子 ( ls, rs )。 除此之外， 可能还会保存以该节点为根的树的大小 ( siz )， 以及该节点相同的数个数 ( same )。

typedef class TreapNode  {public:    int val;    int siz, key, same;    TreapNode *ls, *rs;    inline TreapNode ( )  {     }    inline TreapNode ( int val, TreapNode* & node ) : val ( val ), key ( rand ( ) ), siz ( 1 ), same ( 1 ) {    ls = rs = node; }    inline void update ( )  {        siz = ls -> siz + rs -> siz + same;    }} Node;

当然， 博主是用的指针实现， 指针相比数组有更多的细节需要注意。 在BZOJ-3224中大概比RBT慢2ms。

关于随机函数

< cstdlib > 中的rand ( ) 速度比较慢， 而在数据结构中对于素的如果要求过高， 可以使用手写 rand ( )。

inline int rand ( )  {    static int seed = 233;    return seed = ( int ) seed * 482711LL % 2147483647; }

其中seed可以随便取一个非零的数。 具体原理是什么， 当然我也不会证明了。

首先是旋转操作

分为左旋和右旋， 我习惯用Zag， Zig来叫。

图解一下

具体的代码如下

一定要记住的是当前节点的要旋转节点为null时， 不转。 否则root很有可能变成null， 将会影响一系列的操作。

inline void Zig ( Node* &nd )  {    tmp = nd -> ls;    if ( tmp == null ) return;    nd -> ls = tmp -> rs;    tmp -> rs = nd;    tmp -> siz = nd -> siz;    nd -> update ( );    nd = tmp;}inline void Zag ( Node* &nd )  {    tmp = nd -> rs;    if ( tmp == null ) return;    nd -> rs = tmp -> ls;    tmp -> ls = nd;    tmp -> siz = nd -> siz;    nd -> update ( );    nd = tmp;}

接下来是插入操作

插入的过程中， 一定要满足Treap的特点。
即左儿子的值比当前节点小， 右儿子的值比当前节点大。
与维护关于key值堆的性质

看完， 你一定会理解原理， 并且熟练掌握。

插入值为18，优先级为20的结点后，违反了最小堆的定义，因此要进行调整，把优先级小的往上提，也就是小的优先级插入的是右子树，那么需要进行一次左旋转( Zag )，这里进行一次旋转过后就OK了。

同样，这种情况左旋转，旋转后发现还是不满足最小堆的定义，并且小优先级的结点在左子树，所以还需要进行右旋转 ( Zig )，如下图所示:

右旋后，还是不满足性质， 还需要左旋 ( Zag )：

当然这是在递归调用之中实现的。

如果该节点为null， 就新开一个。 用构造函数会很方便。
如果遇到插入两个相同的值， 那么该节点的same直接+1就好。
完成每一个节点的插入， 都要update
这个update()操作的优秀之处就在于null空节点， 若使用NULL系统自带的空指针， 那么直接指向左右儿子就会指出去， 报错。。。

代码如下：

inline void Insert ( Node* &nd, int& val )  {    if ( nd == null )  {        nd = ++tail;            *nd = Node ( val, null );        return;    }    if ( nd -> val == val )  ++nd -> same;    else  {        if ( val > nd -> val )  {            Insert ( nd -> rs, val );            if ( nd -> rs -> key < nd -> key )            Zag ( nd );        }   else  {            Insert ( nd -> ls, val );            if ( nd -> ls -> key < nd -> key )                Zig ( nd );        }    }    nd -> update ( );}

之后是删除操作

注意：

这是二叉树删除法
对比插入， 相对于删除要复杂一些， 可以直接看代码明白。

不要忘了update()!!!

inline void Delete ( Node* &nd, int x )  {    if ( nd == null )  return;    if ( nd -> val == x )  {        if ( nd -> same > 1 )  {            --nd -> same; nd -> update ( ); return;        }        if ( nd -> ls == null && nd -> rs == null ) { nd = null; return;  }        else if ( nd -> ls == null && nd -> rs )  nd = nd -> rs;        else if ( nd -> ls && nd -> rs == null )  nd = nd -> ls;        if ( nd -> ls -> key < nd -> rs -> key ) { Zig ( nd ); Delete ( nd -> rs, x );  }        else  { Zag ( nd ); Delete ( nd -> ls, x );  }    }  else if ( x > nd -> val )  Delete ( nd -> rs, x );            else  Delete ( nd -> ls, x );    nd -> update ( );}

主要的就是这两个那么还有前驱，后驱，排名，第K大。

那么唯一注意的是前后驱在题目中的定义。

如BZOJ-1588

前后驱可以等于节点数值本身
那么就应该这么写

inline int query_pre ( Treap* &nd, int val )  {    if ( nd == null )  return 0xefefefef;    if ( val < nd -> val )        return query_pre ( nd -> ls, val );    return max ( nd -> val, query_pre ( nd -> rs, val ) );}inline int query_post ( Treap* &nd, int val )  {    if ( nd == null )  return 0x7fffffff;    if ( val > nd -> val )        return query_post ( nd -> rs, val );    return min ( nd -> val, query_post ( nd -> ls, val ) );}

如果是BZOJ-3224， 读错题了就Wa爽了。。。

inline void query_pre ( Node* &nd, int &ans, int val )  {    if ( nd == null )  return;    if ( val > nd -> val )        ans = nd -> val, query_pre ( nd -> rs, ans, val );    else query_pre ( nd -> ls, ans, val );}inline void query_post ( Node* &nd, int &ans, int val )  {    if ( nd == null )  return;    if ( val < nd -> val )        ans = nd -> val, query_post ( nd -> ls, ans, val );    else query_post ( nd -> rs, ans, val );}

当然根据定义也可以用kth 与 rank 两者一起求出前后驱。

具体代码及细节请读者自己推敲

给出完整版参考代码
注意的是 Init( ) 中的 null 维护的节点信息。

#include <bits/stdc++.h>unsigned int seed, n, opt;int ans, x;inline int rand ( )  {    return seed = ( int ) seed * 482711LL % 2147483647; }typedef class TreapNode  {public:    int val;    int siz, key, same;    TreapNode *ls, *rs;    inline TreapNode ( )  {     }    inline TreapNode ( int val, TreapNode* & node ) : val ( val ), key ( rand ( ) ), siz ( 1 ), same ( 1 ) {    ls = rs = node; }    inline void update ( )  {        siz = ls -> siz + rs -> siz + same;    }} Node;Node *pool, *root, *tail, *null, *tmp;inline void Init ( )  {    seed = 233;    pool = new Node [ n + 5 ];    root = null = tail = pool;    null -> siz = 0, null -> same = 0, null -> val = 0, null -> key = rand( ), null -> ls = null -> rs = null;}inline void Zig ( Node* &nd )  {    tmp = nd -> ls;    if ( tmp == null ) return;    nd -> ls = tmp -> rs;    tmp -> rs = nd;    tmp -> siz = nd -> siz;    nd -> update ( );    nd = tmp;}inline void Zag ( Node* &nd )  {    tmp = nd -> rs;    if ( tmp == null ) return;    nd -> rs = tmp -> ls;    tmp -> ls = nd;    tmp -> siz = nd -> siz;    nd -> update ( );    nd = tmp;}inline void Insert ( Node* &nd, int& val )  {    if ( nd == null )  {        nd = ++tail;            *nd = Node ( val, null );        return;    }    if ( nd -> val == val )  ++nd -> same;    else  {        if ( val > nd -> val )  {            Insert ( nd -> rs, val );            if ( nd -> rs -> key < nd -> key )            Zag ( nd );        }   else  {            Insert ( nd -> ls, val );            if ( nd -> ls -> key < nd -> key )                Zig ( nd );        }    }    nd -> update ( );}inline int kth ( Node* &nd, int k )  {    int tmp = nd -> ls -> siz + nd -> same;    if ( nd -> ls -> siz < k && k <= tmp )  return nd -> val;    return nd -> ls -> siz >= k ? kth ( nd -> ls, k ) : kth ( nd -> rs, k - tmp );}inline void Delete ( Node* &nd, int x )  {    if ( nd == null )  return;    if ( nd -> val == x )  {        if ( nd -> same > 1 )  {            --nd -> same; nd -> update ( ); return;        }        if ( nd -> ls == null && nd -> rs == null ) { nd = null; return;  }        else if ( nd -> ls == null && nd -> rs )  nd = nd -> rs;        else if ( nd -> ls && nd -> rs == null )  nd = nd -> ls;        if ( nd -> ls -> key < nd -> rs -> key ) { Zig ( nd ); Delete ( nd -> rs, x );  }        else  { Zag ( nd ); Delete ( nd -> ls, x );  }    }  else if ( x > nd -> val )  Delete ( nd -> rs, x );            else  Delete ( nd -> ls, x );    nd -> update ( );}inline int query_rank ( Node* &nd, int x )  {    if ( nd == null )  return 0;    if ( nd -> val == x )  return nd -> ls -> siz + 1;    else  return  ( x > nd -> val ) ? nd -> ls -> siz + nd -> same + query_rank ( nd -> rs, x )                                    : query_rank ( nd -> ls, x );}inline void query_pre ( Node* &nd, int &ans, int val )  {    if ( nd == null )  return;    if ( val > nd -> val )        ans = nd -> val, query_pre ( nd -> rs, ans, val );    else query_pre ( nd -> ls, ans, val );}inline void query_post ( Node* &nd, int &ans, int val )  {    if ( nd == null )  return;    if ( val < nd -> val )        ans = nd -> val, query_post ( nd -> ls, ans, val );    else query_post ( nd -> rs, ans, val );}using std :: cin;using std :: cout;using std :: endl;int main ( )  {    cin >> n;    Init ( );    register int i = 1;    loop :;  {        cin >> opt >> x;        switch ( opt )  {            case 1:                Insert ( root, x );  break;            case 2:                Delete ( root, x );  break;            case 3:                cout << query_rank( root, x ) << endl; break;            case 4:                cout << kth ( root, x ) << endl; break;            case 5:                query_pre ( root, ans, x ); cout << ans << endl; break;            case 6:                query_post ( root, ans, x ); cout << ans << endl; break;        }    }  if ( ++i <= n )  goto loop;}