ROS-TF学习-欧拉角

前提

在开始本文之前，先做一个定义：

1. 只考虑旋转，不考虑坐标系原点的位移，故世界坐标系与机体坐标系原点是重合的；

2. 世界坐标系  ： o-xyz   M点在世界坐标系中的坐标   p   坐标向量 [x y z]

3. 机体1坐标系： o-XYZ  M点在机体坐标系中的坐标   P  坐标向量 [X Y Z]

欧拉角是Leonhard Euler引入的三个角度来描述刚体相对于固定坐标系的方向或是姿态。欧拉角通常表示为α，β，γ或φ，θ，ψ。

分类

欧拉角大致分为两大类，一类是基于自身坐标系的旋转和，另一类是基于外界坐标系（如世界坐标系）的旋转。

基于自身坐标的旋转

顾名思义，就是绕机体自身的坐标系进行的一系列旋转， 最终得到一个姿态。先绕X还是Y还是Z，这个可以进行选择并组合，所以欧拉角的表示多样。基于自身坐标旋转的组合共有12种，如下：

• 常规欧拉角      (Z-X-Z, X-Y-X, Y-Z-Y, Z-Y-Z, X-Z-X, Y-X-Y)
• 泰特 - 布赖恩角 (X-Y-Z, Y-Z-X, Z-X-Y, X-Z-Y, Z-Y-X, Y-X-Z)

基于外界坐标系的旋转

基于外界坐标系的旋转更为直观的，方便表示。默认外界坐标系是静止的，然后按照其坐标轴进行旋转，组合也同样存在12种。两类方式的旋转在一定条件下，存在等价。

TF功能包中的欧拉角

ROS中的TF功能包中的欧拉角属于泰特 - 布赖恩角，是航模中常用的航向角。

按照自身坐标系旋转顺序是 Z-->Y-->X，叫做eulerYPR（Yaw Pitch Roll）；

按照外界坐标系（参考坐标系）的旋转顺序是x-->y-->z，叫做RPY（Roll Pitch Yaw）;

描述同一姿态时，以上两者的表示是等价的，即Yaw Pitch Roll的角度值是一样的，这在之后会进行证明。

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定义：

Yaw   偏航角  ϒ 

Pitch  俯仰角  β

Roll    翻滚角  α

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RPY（Roll Pitch Yaw）

当机体坐标系o-XYZ和参考坐标系o-xyz重合，按照外界坐标系轴（参考坐标系），依次对机体坐标进行旋转，顺序是x(α)-->y(β)-->z(ϒ)，取旋转矩阵 x(α) ，y(β)，z(ϒ)。

方便理解，采用坐标转换，取点M，其在机体坐标系中坐标为P，当两个坐标重合时，M在外界坐标系中坐标也为P，经过旋转变换，可以得到p，也就是实际点M在外界坐标系中的坐标，表达式如下：

       p=z(ϒ)y(β)x(α)P  

该式子点M在机体坐标系下的坐标P转换为在外界坐标系下的点p；   

z(ϒ)y(β)x(α) 称为外界坐标系到机体坐标系的旋转矩阵 ，也是外界坐标系到机体坐标系的坐标系变换阵；

证明：

[x y z]p=[X Y Z]P    

[x y z]R=[X Y Z]

综合，[x y z]p=[x y z]RP  即R=z(ϒ)y(β)x(α)

同理使用坐标转换：

EulerYPR（Yaw Pitch Roll）

有了之前的基础，下面来介绍基于自身坐标系的欧拉角。我们定义旋转顺序是 Z-->Y-->X，角度依次是ϒ 、β、α。

由于是基于自身的旋转，自身的旋转轴相对与外界坐标系是变化的，先前的思路不能使用。

可以这么做，以上旋转等价于将自身坐标系保持不动，外界坐标系依次绕自身坐标系 Z-->Y-->X做-ϒ 、-β、-α角度的旋转。

参照此前的操作，可得等式

       P=X(-α)Y(-β)Z(-ϒ)p

  

 发现如下：

 由此可得， p=z(ϒ)y(β)x(α)P 和 P=X(-α)Y(-β)Z(-ϒ)p 等价，这里就证明了EulerYPR和RPY等价性。

参考

维基百科——欧拉角

机器人学导论[书]