图像配准中的互信息

图像配准是为了解决两幅不同来源的图像匹配问题。例如，楼外的一颗大树开花了，小明路过觉得好看，就拿相机拍了一张照片。结果回屋拷出来一看不满意，于是小明从窗户又拍了一张。两张照片拍摄角度和距离不一样（也即存在投影变换），同时照片细节也有差异（第二次拍摄的时候起风了，树叶子都有轻微的位移）。那么问题来了：怎么样让计算机把两幅图片中的树，像素对像素的给匹配起来？

互信息配准算法是解决此问题较好的方法之一。它是利用信息论中的熵思想。我们知道，熵是对随机变量不确定度的衡量。一个离散随机变量X的熵可以表示为：

H(X)=−∑xp(x)log2p(x)

那么对于联合分布f(X,Y)，当随机变量Y的取值确定以后，由于相关性的存在，X的不确定性就会降低，熵也随之减小。因此，可以定义条件熵

H(X|Y)=−∑x,yp(x,y)log2p(x|y)

可以证明，X的条件熵是一定小于其自身的熵，也即

H(X|Y)⩽H(X)

啥时候等号成立呢？当X和Y完全独立的时候，有兴趣的同学可以推导一下，很简单。从物理意义上也比较好理解：当X和Y完全独立，我们知道Y的值，和随机变量X没有一点关系，当然X的不确定度就没有减小。所以此时条件熵和熵相等。

有了条件熵之后，就可以定义随机变量X和Y的互信息，它的公式为：

I(X,Y)=∑x,yp(x,y)log2p(x,y)p(x)p(y)

这个公式不太直观，不过如果这么解释就易懂多了：

I(X,Y)=H(X)−H(X|Y)

换言之，互信息就是，当引入一个和X具有相关性的随机变量Y之后，条件熵所消除的不确定度。

下面回到图像配准问题，假设现在待配准的两幅图像分别是IA和IB，其像素数分别用#A和#B来表示。我们先来讨论最直观的，根据像素值来配准。也就是说，把图像IA、IB的灰度值作为分别作为随机变量A和B。其概率分布可以根据直方图求得，也即

p(a)=#a#A,p(b)=#b#B,p(a,b)=#a+#b#A+#B

其中#a表示IA值为a的像素数目，下同。有了上式之后，我们很容易就可以利用互信息公式，求出图片IA和IB的互信息。当两张图片被成功配准时，其互信息达到最大。

有了互信息作为小明拍摄的两幅图片之间相似性的度量，我们就可以开始配准啦。首先要建立变换模型，由于两张照片之间是存在角度和距离的变化，可以用投影变换来仿真。令[xa ya]和[xb yb]表示树上同一个点在IA和IB两幅图像中对应的二维坐标，则它们之间的投影变换可以这么建模

⎡⎣⎢xayawa⎤⎦⎥=s⎡⎣⎢m11m21m31m12m22m32m13m23m33⎤⎦⎥⎡⎣⎢xbybwb⎤⎦⎥+⎡⎣⎢t1t2wt⎤⎦⎥

其中s表示尺度参数，M=[m11m12m13; m21m22m23; m31m32m33]表示旋转矩阵，t=⎡⎣⎢t1t2wt⎤⎦⎥表示平移参数。那么配准过程就是对这12个参数的估计了，就是搜索这12个参数的值，使得互信息最大化。从而将配准为题转换为一个最优化问题。

如何让搜索过程能够最好、最快地收敛到全局最优解，是图像配准中的另一个重要问题，这个目前还在学习中，留待下次记录。遗传算法、模拟退火等都可以用来求解。

互信息配准的优点是只使用了图像本身的信息，也即底层信息。它不像SIFT匹配等方法，需要人工设定的特征点提取。同时，由于互信息具有较好的鲁棒性，这种方法对局部差异不太敏感，例如灰度不均、几何失真、数据缺失等等。缺点就是运算量大，配准时间依赖搜索算法。