欧几里得算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

第一种证明：

      a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

　　假设d是a,b的一个公约数，则有

　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

　　因此d是(b,a mod b)的公约数

　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

　　d | b , d |r ，但是a = kb +r

　　因此d也是(a,b)的公约数

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

算法的实现：

int gcd(int a,int b){    if(b==0)        return a;    return         gcd(b,a%b);}

精简一下

int gcd(int a,int b){    return b ? gcd(b,a%b) : a;}

我们上一个例题

HRBUST  1138 最大公约数 点击打开链接

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>using namespace std;int gcd(int a,int b){    if(b==0)        return a;    return        gcd(b,a%b);}int main(){    int a,b;    while(~scanf("%d%d",&a,&b))    {        printf("%d\n",gcd(a,b));    }    return 0;}