学习一个ZKW线段树

不厚道的转载 http://blog.csdn.net/keshuqi/article/details/52205884
还有
让我看到你们的双手

前言

出处：
清华大学 张昆玮(zkw) - ppt 《统计的力量》
写这篇博客的原因：
1.zkw线段树非递归，效率高，代码短
2.网上关于zkw线段树的讲解实在是太少了
3.个人感觉很实用

Part 1

来说说它的构造

线段树的堆式储存

我们来转成二进制看看

小学生问题:找规律

规律是很显然的

一个节点的父节点是这个数左移1，这个位运算就是低位舍弃，所有数字左移一位
一个节点的子节点是这个数右移1，是左节点，右移1+1是右节点
同一层的节点是依次递增的，第n层有2^(n-1)个节点
最后一层有多少节点，值域就是多少(这个很重要)
有了这些规律就可以开始着手建树了

查询区间[1,n]
最后一层不是2的次幂怎么办?
开到2的次幂！后面的空间我不要了！就是这么任性！
Build函数就这么出来了！找到不小于n的2的次幂
直接输入叶节点的信息

int n,M,q;int d[N<<1];  inline void Build(int n){      for(M=1;M<n;M<<=1);      for(int i=M+1;i<=M+n;i++) d[i]=in();  }  

建完了？当然没有！父节点还都是空的呢！
维护父节点信息？

倒叙访问，每个节点访问的时候它的子节点已经处理过辣！

维护区间和？

for(int i=M-1;i;--i) d[i]=d[i<<1]+d[i<<1|1];  

维护最大值？

for(int i=M-1;i;--i) d[i]=max(d[i<<1],d[i<<1|1]);  

维护最小值？

for(int i=M-1;i;--i) d[i]=min(d[i<<1],d[i<<1|1]);  

这样就构造出了一颗二叉树，也就是zkw线段树了！
如果你是压行选手的话(比如我)，建树的代码只需要两行。
是不是特别Easy!
新技能Get√

Part 2

单点操作

单点修改

void Change(int x,int v){      d[M+x]+=v;  }  

只是这么简单？当然不是，跟线段树一样，我们要更新它的父节点！

void Change(int x,int v){      d[x=M+x]+=v;      while(x) d[x>>=1]=d[x<<1]+d[x<<1|1];  }  

没了？没了。

单点查询(差分思想，后面会用到)

把d维护的值修改一下，变成维护它与父节点的差值(为后面的RMQ问题做准备)
建树的过程就要修改一下咯！

void Build(int n){      for(M=1;M<=n+1;M<<=1);for(int i=M+1;i<=M+n;i++) d[i]=in();      for(int i=M-1;i;--i) d[i]=min(d[i<<1],d[i<<1|1]),d[i<<1]-=d[i],d[i<<1|1]-=d[i];  }  

在当前情况下的查询

void Sum(int x,int res=0){      while(x) res+=d[x],x>>=1;return res;  }  

Part 3

区间操作

询问区间和，把[s,t]闭区间换成(s,t)开区间来计算

int Sum(int s,int t,int Ans=0){      for (s=s+M-1,t=t+M+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1){          if(~s&1) Ans+=d[s^1];          if( t&1) Ans+=d[t^1];      }return Ans;  }  

为什么~s&1?
为什么t&1?
这里写图片描述
变成开区间了以后，如果s是左儿子，那么它的兄弟节点一定在区间内，同理，如果t是右儿子，那么它的兄弟节点也一定在区间内！

这样计算不会重复吗？

答案是会的！所以注意迭代的出口s^t^1
如果s,t就是兄弟节点，那么也就迭代完成了。

代码简单，即使背过也不难QuQ

区间最小值

void Sum(int s,int t,int L=0,int R=0){      for(s=s+M-1,t=t+M+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1){          L+=d[s],R+=d[t];          if(~s&1) L=min(L,d[s^1]);          if(t&1) R=min(R,d[t^1]);      }      int res=min(L,R);while(s) res+=d[s>>=1];  }  

差分！
不要忘记最后的统计！
还有就是建树的时候是用的最大值还是最小值，这个一定要注意，影响到差分。

区间最大值

void Sum(int s,int t,int L=0,int R=0){      for(s=s+M-1,t=t+M+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1){          L+=d[s],R+=d[t];          if(~s&1) L=max(L,d[s^1]);          if(t&1) R=max(R,d[t^1]);      }      int res=max(L,R);while(s) res+=d[s>>=1];  }  

同理。

区间加法

void Add(int s,int t,int v,int A=0){      for(s=s+M-1,t=t+M+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1){          if(~s&1) d[s^1]+=v;if(t&1) d[t^1]+=v;          A=min(d[s],d[s^1]);d[s]-=A,d[s^1]-=A,d[s>>1]+=A;          A=min(d[t],d[t^1]);d[t]-=A,d[t^1]-=A,d[t>>1]+=A;      }      while(s) A=min(d[s],d[s^1]),d[s]-=A,d[s^1]-=A,d[s>>=1]+=A;  }  

同样是差分！差分就是厉害QuQ

zkw线段树小试牛刀（code来自hzwer.com）

#include<cstdio>  #include<iostream>  #define M 261244  using namespace std;  int tr[524289];  void query(int s,int t)  {      int ans=0;      for(s=s+M-1,t=t+M+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1)      {           if(~s&1)ans+=tr[s^1];           if(t&1)ans+=tr[t^1];           }      printf("%d\n",ans);  }   void change(int x,int y)  {      for(tr[x+=M]+=y,x>>=1;x;x>>=1)         tr[x]=tr[x<<1]+tr[x<<1|1];  }  int main()  {      int n,m,f,x,y;      scanf("%d",&n);      for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&x);change(i,x);}      scanf("%d",&m);      for(int i=1;i<=m;i++)      {              scanf("%d%d%d",&f,&x,&y);              if(f==1)change(x,y);              else query(x,y);              }      return 0;  }  

poj3468（code来自网络）

#include <cstdio>  #include <cstring>  #include <cctype>  #define N ((131072 << 1) + 10) //表示节点个数->不小于区间长度+2的最小2的正整数次幂*2+10  typedef long long LL;  inline int getc() {      static const int L = 1 << 15;      static char buf[L] , *S = buf , *T = buf;      if (S == T) {          T = (S = buf) + fread(buf , 1 , L , stdin);          if (S == T)              return EOF;      }      return *S++;  }  inline int getint() {      static char c;      while(!isdigit(c = getc()) && c != '-');      bool sign = (c == '-');      int tmp = sign ? 0 : c - '0';      while(isdigit(c = getc()))          tmp = (tmp << 1) + (tmp << 3) + c - '0';      return sign ? -tmp : tmp;  }  inline char getch() {      char c;      while((c = getc()) != 'Q' && c != 'C');      return c;  }  int M; //底层的节点数  int dl[N] , dr[N]; //节点的左右端点  LL sum[N]; //节点的区间和  LL add[N]; //节点的区间加上一个数的标记  #define l(x) (x<<1) //x的左儿子，利用堆的性质  #define r(x) ((x<<1)|1) //x的右儿子，利用堆的性质  void pushdown(int x) { //下传标记   if (add[x]&&x<M) {//如果是叶子节点，显然不用下传标记（别忘了）       add[l(x)] += add[x];          sum[l(x)] += add[x] * (dr[l(x)] - dl[l(x)] + 1);          add[r(x)] += add[x];          sum[r(x)] += add[x] * (dr[r(x)] - dl[r(x)] + 1);          add[x] = 0;       }  }  int stack[20] , top;//栈  void upd(int x) { //下传x至根节点路径上节点的标记（自上而下，用栈实现）   top = 0;      int tmp = x;      for(; tmp ; tmp >>= 1)          stack[++top] = tmp;      while(top--)          pushdown(stack[top]);  }  LL query(int tl , int tr) { //求和   LL res=0;      int insl = 0, insr = 0; //两侧第一个有用节点   for(tl=tl+M-1,tr=tr+M+1;tl^tr^1;tl>>=1,tr>>=1) {          if (~tl&1) {              if (!insl)          upd(insl=tl^1);              res+=sum[tl^1];          }          if (tr&1) {              if(!insr)          upd(insr=tl^1)              res+=sum[tr^1];          }      }      return res;  }  void modify(int tl , int tr , int val) { //修改   int insl = 0, insr = 0;      for(tl=tl+M-1,tr=tr+M+1;tl^tr^1;tl>>=1,tr>>=1) {          if (~tl&1) {              if (!insl)                  upd(insl=tl^1);              add[tl^1]+=val;              sum[tl^1]+=(LL)val*(dr[tl^1]-dl[tl^1]+1);          }          if (tr&1) {              if (!insr)                  upd(insr=tr^1);              add[tr^1]+=val;              sum[tr^1]+=(LL)val*(dr[tr^1]-dl[tr^1]+1);          }      }      for(insl=insl>>1;insl;insl>>=1) //一路update       sum[insl]=sum[l(insl)]+sum[r(insl)];      for(insr=insr>>1;insr;insr>>=1)          sum[insr]=sum[l(insr)]+sum[r(insr)];  }  inline void swap(int &a , int &b) {      int tmp = a;      a = b;      b = tmp;  }  int main() {      //freopen("tt.in" , "r" , stdin);   int n , ask;      n = getint();      ask = getint();      int i;      for(M = 1 ; M < (n + 2) ; M <<= 1);      for(i = 1 ; i <= n ; ++i)          sum[M + i] = getint() , dl[M + i] = dr[M + i] = i; //建树   for(i = M - 1; i >= 1 ; --i) { //预处理节点左右端点       sum[i] = sum[l(i)] + sum[r(i)];          dl[i] = dl[l(i)];          dr[i] = dr[r(i)];      }      char s;      int a , b , x;      while(ask--) {          s = getch();          if (s == 'Q') {              a = getint();              b = getint();              if (a > b)                  swap(a , b);              printf("%lld\n" , query(a , b));          }          else {              a = getint();              b = getint();              x = getint();              if (a > b)                  swap(a , b);              modify(a , b , x);          }      }      return 0;  }  

可持久化线段树版本？！（来自http://blog.csdn.net/forget311300/article/details/44306265）

#include <iostream>    #include <cstdio>    #include <cstring>    #include <cmath>    #include <algorithm>    #include <vector>    #define mp(x,y) make_pair(x,y)    using namespace std;    const int N = 100000;    const int inf = 0x3f3f3f3f;    int a[N + 10];    int b[N + 10];    int M;    int lq, rq;    vector<pair<int, int> > s[N * 22];    void add(int id, int cur)    {        cur += M;        int lat = 0;        if (s[cur].size())            lat = s[cur][s[cur].size() - 1].second;        s[cur].push_back(mp(id, ++lat));        for (cur >>= 1; cur; cur >>= 1)        {            int l = 0;            if (s[cur << 1].size())                l = s[cur << 1][s[cur << 1].size() - 1].second;            int r = 0;            if (s[cur << 1 | 1].size())                r = s[cur << 1 | 1][s[cur << 1 | 1].size() - 1].second;            s[cur].push_back(mp(id, l + r));        }    }    int Q(int id, int k)    {        if (id >= M) return id - M;        int l = id << 1, r = l ^ 1;        int ll = lower_bound(s[l].begin(), s[l].end(), mp(lq, inf)) - s[l].begin() - 1;        int rr = lower_bound(s[l].begin(), s[l].end(), mp(rq, inf)) - s[l].begin() - 1;        int kk = 0;        if (rr >= 0)kk = s[l][rr].second;        if (ll >= 0)kk = s[l][rr].second - s[l][ll].second;        if (kk < k)return Q(r, k - kk);        return Q(l, k);    }    int main()    {        int n, m;        while (~scanf("%d%d", &n, &m))        {            for (int i = 0; i < n; i++)            {                scanf("%d", a + i);                b[i] = a[i];            }            sort(b, b + n);            int nn = unique(b, b + n) - b;            for (M = 1; M < nn; M <<= 1);            for (int i = 1; i < M + M; i++)            {                s[i].clear();                //s[i].push_back(mp(0, 0));            }            for (int i = 0; i < n; i++)            {                int id = lower_bound(b, b + nn, a[i]) - b;                add(i + 1, id);            }            while (m--)            {                int k;                scanf("%d %d %d", &lq, &rq, &k);                lq--;                int x = Q(1, k);                printf("%d\n", b[x]);            }        }        return 0;    }    

完全模板？！（来自http://blog.csdn.net/forget311300/article/details/44306265）

const int N = 1e5;    struct node    {        int sum, d, v;        int l, r;        void init()        {            d = 0;            v = -1;        }        void cb(node ls, node rs)        {            sum = ls.sum + rs.sum;            l = ls.l, r = rs.r;        }        int len()        {            return r - l + 1;        }        void V(int x)        {            sum = len() * x;            d = 0;            v = x;        }        void D(int x)        {            sum += len() * x;            d += x;        }    };    struct tree    {        int m, h;        node g[N << 2];        void init(int n)        {            for (m = h = 1; m < n + 2; m <<= 1, h++);            int i = 0;            for (; i <= m; i++)            {                g[i].init();                g[i].sum = 0;            }            for (; i <= m + n; i++)            {                g[i].init();                scanf("%d", &g[i].sum);                g[i].l = g[i].r = i - m;            }            for (; i < m + m; i++)            {                g[i].init();                g[i].sum = 0;                g[i].l = g[i].r = i - m;            }            for (i = m - 1; i > 0; i--)                g[i].cb(g[i << 1], g[i << 1 | 1]);        }        void dn(int x)        {            for (int i = h - 1; i > 0; i--)            {                int f = x >> i;                if (g[f].v != -1)                {                    g[f << 1].V(g[f].v);                    g[f << 1 | 1].V(g[f].v);                }                if (g[f].d)                {                    g[f << 1].D(g[f].d);                    g[f << 1 | 1].D(g[f].d);                }                g[f].v = -1;                g[f].d = 0;            }        }        void up(int x)        {            for (x >>= 1; x; x >>= 1)            {                if (g[x].v != -1)continue;                int d = g[x].d;                g[x].d = 0;                g[x].cb(g[x << 1], g[x << 1 | 1]);                g[x].D(d);            }        }        void update(int l, int r, int x, int o)        {            l += m - 1, r += m + 1;            dn(l), dn(r);            for (int s = l, t = r; s ^ t ^ 1; s >>= 1, t >>= 1)            {                if (~s & 1)                {                    if (o)                        g[s ^ 1].V(x);                    else                        g[s ^ 1].D(x);                }                if (t & 1)                {                    if (o)                        g[t ^ 1].V(x);                    else                        g[t ^ 1].D(x);                }            }            up(l), up(r);        }        int Q(int l, int r)        {            int ans = 0;            l += m - 1, r += m + 1;            dn(l), dn(r);            for (int s = l, t = r; s ^ t ^ 1; s >>= 1, t >>= 1)            {                if (~s & 1)ans += g[s ^ 1].sum;                if (t & 1)ans += g[t ^ 1].sum;            }            return ans;        }    };    

二维情况（来自http://blog.csdn.net/forget311300/article/details/44306265）

#include <cstdio>    #include <algorithm>    #include <cstring>    #include <cmath>    #include <vector>    #include <iostream>    using namespace std;    const int W = 1000;    int m;    struct tree    {        int d[W << 2];        void o()        {            for (int i = 1; i < m + m; i++)d[i] = 0;        }        void Xor(int l, int r)        {            l += m - 1, r += m + 1;            for (int s = l, t = r; s ^ t ^ 1; s >>= 1, t >>= 1)            {                if (~s & 1)d[s ^ 1] ^= 1;                if (t & 1)d[t ^ 1] ^= 1;            }        }    } g[W << 2];    void chu()    {        for (int i = 1; i < m + m; i++)            g[i].o();    }    void Xor(int lx, int ly, int rx, int ry)    {        lx += m - 1, rx += m + 1;        for (int s = lx, t = rx; s ^ t ^ 1; s >>= 1, t >>= 1)        {            if (~s & 1)g[s ^ 1].Xor(ly, ry);            if (t & 1)g[t ^ 1].Xor(ly, ry);        }    }    int Q(int x, int y)    {        int ans = 0;        for (int xx = x + m; xx; xx >>= 1)        {            for (int yy = y + m; yy; yy >>= 1)            {                ans ^= g[xx].d[yy];            }        }        return ans;    }    int main()    {        int T;        cin >> T;        int fl = 0;        while (T--)        {            if (fl)            {                printf("\n");            }            fl = 1;            int N, M;            cin >> N >> M;            for (m =  1; m < N + 2; m <<= 1);            chu();            while (M--)            {                char o[4];                scanf("%s", o);                if (*o == 'Q')                {                    int x, y;                    scanf("%d%d", &x, &y);                    printf("%d\n", Q(x, y));                }                else                {                    int lx, ly, rx, ry;                    scanf("%d%d%d%d", &lx, &ly, &rx, &ry);                    Xor(lx, ly, rx, ry);                }            }        }        return 0;    }    

非递归扫描线+离散化？！（来自http://blog.csdn.net/forget311300/article/details/44306265）

#include <algorithm>    #include <iostream>    #include <cstdio>    #include <cstring>    #include <vector>    #include <cmath>    using namespace std;    const int N = 111;    int n;    vector<double> y;    struct node    {        double s;        int c;        int l, r;        void chu(double ss, int cc, int ll, int rr)        {            s =  ss;            c = cc;            l = ll, r = rr;        }        double len()        {            return y[r] - y[l - 1];        }    } g[N << 4];    int M;    void init(int n)    {        for (M = 1; M < n + 2; M <<= 1);        g[M].chu(0, 0, 1, 1);        for (int i = 1; i <= n; i++)            g[i + M].chu(0, 0, i, i);        for (int i = n + 1; i < M; i++)            g[i + M].chu(0, 0, n, n);        for (int i = M - 1; i > 0; i--)            g[i].chu(0, 0, g[i << 1].l, g[i << 1 | 1].r);    }    struct line    {        double x, yl, yr;        int d;        line() {}        line(double x, double yl, double yr, int dd): x(x), yl(yl), yr(yr), d(dd) {}        bool operator < (const line &cc)const        {            return x < cc.x || (x == cc.x && d > cc.d);        }    };    vector<line>L;    void one(int x)    {        if (x >= M)        {            g[x].s = g[x].c ? g[x].len() : 0;            return;        }        g[x].s = g[x].c ? g[x].len() : g[x << 1].s + g[x << 1 | 1].s;    }    void up(int x)    {        for (; x; x >>= 1)            one(x);    }    void add(int l, int r, int d)    {        if (l > r)return;        l += M - 1, r += M + 1;        for (int s = l, t = r; s ^ t ^ 1; s >>= 1, t >>= 1)        {            if (~s & 1)            {                g[s ^ 1].c += d;                one(s ^ 1);            }            if (t & 1)            {                g[t ^ 1].c += d;                one(t ^ 1);            }        }        up(l);        up(r);    }    double sol()    {        y.clear();        L.clear();        for (int i = 0; i < n; i++)        {            double lx, ly, rx, ry;            scanf("%lf %lf %lf %lf", &lx, &ly, &rx, &ry);            L.push_back(line(lx, ly, ry, 1));            L.push_back(line(rx, ly, ry, -1));            y.push_back(ly);            y.push_back(ry);        }        sort(y.begin(), y.end());        y.erase(unique(y.begin(), y.end()), y.end());        init(y.size());        sort(L.begin(), L.end());        n = L.size() - 1;        double ans = 0;        for (int i = 0; i < n; i++)        {            int l = upper_bound(y.begin(), y.end(), L[i].yl + 1e-8) - y.begin();            int r = upper_bound(y.begin(), y.end(), L[i].yr + 1e-8) - y.begin() - 1;            add(l, r, L[i].d);            ans += g[1].s * (L[i + 1].x - L[i].x);        }        return ans;    }    int main()    {        int ca = 1;        while (cin >> n && n)        {            printf("Test case #%d\nTotal explored area: %.2f\n\n", ca++, sol());        }        return 0;    }