红黑树

       红黑树（red-black tree）是许多“平衡”搜索树中的一种，可以保证在最坏情况下基本动态集合操作的时间复杂度为O（lgn）。

13.1 红黑树的性质

       红黑树是一棵二叉搜索树，它在每个节点上增加了一个存储位来表示节点的颜色，可以是RED或BLACK。通过对任何一条从根到叶子的简单路径上各个节点的颜色进行约束，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出2倍，因而是近似于平衡的。树中每个结点包含5个属性：color,key,left,right和p，如果一个结点没有子节点或父节点，则该结点相应指针属性的值为NIL。

       一棵红黑树是满足下面红黑性质的二叉搜索树：

       1，每个结点或是红色的，或是黑色的

       2，根结点是黑色的

       3，每个叶结点是黑色的

       4，如果一个结点是红色的，则它的两个子节点都是黑色的

       5，对每个结点，从该结点到其多有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点。

13.2 旋转

       插入和删除操作结果可能违反了红黑性质，通过旋转来维护这些性质。分为左旋和右旋。要会化左旋和右旋的图。左旋和右旋都在O(1)时间内运行完成。在旋转操作中只有指针改变，其他所有属性都保持不变。

13.3 插入

       插入有三种情况：在O（lg n）

       情况1：z的叔结点y是红色的

       情况2：z的叔结点y是黑色的且z是一个右孩子

       情况3：z的叔结点y是黑色的且z是一个左孩子

13.4 删除

       情况1：x的兄弟结点w是红色的

       情况2：x的兄弟结点w是黑色的，而且w的两个子结点都是黑色的

       情况3：x的兄弟结点w是黑色的，w的左孩子是红色的，w的右孩子是黑色的

       情况4：x的兄弟结点w是黑色的，且w的右孩子是红色的

思考题

       AVL树是一种高度平衡的二叉搜索树；对每一个结点x，x的左子树与右子树的高度差至多为1.要实现一棵AVL树，需要在每个结点内维护一个额外的属性：x.h为结点x的高度。各操作时间复杂度和红黑树差不多。

       如果没法同时得到所有的元素，也就是无法随机排列这些元素，构建树。一棵treap树是一棵更改了结点排序方式的二叉搜索树，通常树内的每个结点x都有一个关键字值x.key。另外，还要为每个结点指定x.priority，它是一个独立选取的随机数。如果v是u的左孩子 ，则v.key<u.key。如果v是u的右孩子，则v.key>u.key。如果v是u的孩子，则v.priority>u.priority。

       

代码转载自他人所写！

/*** C++ 语言: 红黑树** @author skywang* @date 2013/11/07*/#ifndef _RED_BLACK_TREE_HPP_#define _RED_BLACK_TREE_HPP_ #include <iomanip>#include <iostream>using namespace std;enum RBTColor { RED, BLACK };template <class T>class RBTNode {public:RBTColor color;    // 颜色T key;            // 关键字(键值)RBTNode *left;    // 左孩子RBTNode *right;    // 右孩子RBTNode *parent; // 父结点RBTNode(T value, RBTColor c, RBTNode *p, RBTNode *l, RBTNode *r) :key(value), color(c), parent(), left(l), right(r) {}};template <class T>class RBTree {private:RBTNode<T> *mRoot;    // 根结点public:RBTree();~RBTree();// 前序遍历"红黑树"void preOrder();// 中序遍历"红黑树"void inOrder();// 后序遍历"红黑树"void postOrder();// (递归实现)查找"红黑树"中键值为key的节点RBTNode<T>* search(T key);// (非递归实现)查找"红黑树"中键值为key的节点RBTNode<T>* iterativeSearch(T key);// 查找最小结点：返回最小结点的键值。T minimum();// 查找最大结点：返回最大结点的键值。T maximum();// 找结点(x)的后继结点。即，查找"红黑树中数据值大于该结点"的"最小结点"。RBTNode<T>* successor(RBTNode<T> *x);// 找结点(x)的前驱结点。即，查找"红黑树中数据值小于该结点"的"最大结点"。RBTNode<T>* predecessor(RBTNode<T> *x);// 将结点(key为节点键值)插入到红黑树中void insert(T key);// 删除结点(key为节点键值)void remove(T key);// 销毁红黑树void destroy();// 打印红黑树void print();private:// 前序遍历"红黑树"void preOrder(RBTNode<T>* tree) const;// 中序遍历"红黑树"void inOrder(RBTNode<T>* tree) const;// 后序遍历"红黑树"void postOrder(RBTNode<T>* tree) const;// (递归实现)查找"红黑树x"中键值为key的节点RBTNode<T>* search(RBTNode<T>* x, T key) const;// (非递归实现)查找"红黑树x"中键值为key的节点RBTNode<T>* iterativeSearch(RBTNode<T>* x, T key) const;// 查找最小结点：返回tree为根结点的红黑树的最小结点。RBTNode<T>* minimum(RBTNode<T>* tree);// 查找最大结点：返回tree为根结点的红黑树的最大结点。RBTNode<T>* maximum(RBTNode<T>* tree);// 左旋void leftRotate(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* x);// 右旋void rightRotate(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* y);// 插入函数void insert(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* node);// 插入修正函数void insertFixUp(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* node);// 删除函数void remove(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T> *node);// 删除修正函数void removeFixUp(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T> *node, RBTNode<T> *parent);// 销毁红黑树void destroy(RBTNode<T>* &tree);// 打印红黑树void print(RBTNode<T>* tree, T key, int direction);#define rb_parent(r)   ((r)->parent)#define rb_color(r) ((r)->color)#define rb_is_red(r)   ((r)->color==RED)#define rb_is_black(r)  ((r)->color==BLACK)#define rb_set_black(r)  do { (r)->color = BLACK; } while (0)#define rb_set_red(r)  do { (r)->color = RED; } while (0)#define rb_set_parent(r,p)  do { (r)->parent = (p); } while (0)#define rb_set_color(r,c)  do { (r)->color = (c); } while (0)};/** 构造函数*/template <class T>RBTree<T>::RBTree() :mRoot(NULL){mRoot = NULL;}/** 析构函数*/template <class T>RBTree<T>::~RBTree(){destroy();}/** 前序遍历"红黑树"*/template <class T>void RBTree<T>::preOrder(RBTNode<T>* tree) const{if (tree != NULL){cout << tree->key << " ";preOrder(tree->left);preOrder(tree->right);}}template <class T>void RBTree<T>::preOrder(){preOrder(mRoot);}/** 中序遍历"红黑树"*/template <class T>void RBTree<T>::inOrder(RBTNode<T>* tree) const{if (tree != NULL){inOrder(tree->left);cout << tree->key << " ";inOrder(tree->right);}}template <class T>void RBTree<T>::inOrder(){inOrder(mRoot);}/** 后序遍历"红黑树"*/template <class T>void RBTree<T>::postOrder(RBTNode<T>* tree) const{if (tree != NULL){postOrder(tree->left);postOrder(tree->right);cout << tree->key << " ";}}template <class T>void RBTree<T>::postOrder(){postOrder(mRoot);}/** (递归实现)查找"红黑树x"中键值为key的节点*/template <class T>RBTNode<T>* RBTree<T>::search(RBTNode<T>* x, T key) const{if (x == NULL || x->key == key)return x;if (key < x->key)return search(x->left, key);elsereturn search(x->right, key);}template <class T>RBTNode<T>* RBTree<T>::search(T key){search(mRoot, key);}/** (非递归实现)查找"红黑树x"中键值为key的节点*/template <class T>RBTNode<T>* RBTree<T>::iterativeSearch(RBTNode<T>* x, T key) const{while ((x != NULL) && (x->key != key)){if (key < x->key)x = x->left;elsex = x->right;}return x;}template <class T>RBTNode<T>* RBTree<T>::iterativeSearch(T key){iterativeSearch(mRoot, key);}/** 查找最小结点：返回tree为根结点的红黑树的最小结点。*/template <class T>RBTNode<T>* RBTree<T>::minimum(RBTNode<T>* tree){if (tree == NULL)return NULL;while (tree->left != NULL)tree = tree->left;return tree;}template <class T>T RBTree<T>::minimum(){RBTNode<T> *p = minimum(mRoot);if (p != NULL)return p->key;return (T)NULL;}/** 查找最大结点：返回tree为根结点的红黑树的最大结点。*/template <class T>RBTNode<T>* RBTree<T>::maximum(RBTNode<T>* tree){if (tree == NULL)return NULL;while (tree->right != NULL)tree = tree->right;return tree;}template <class T>T RBTree<T>::maximum(){RBTNode<T> *p = maximum(mRoot);if (p != NULL)return p->key;return (T)NULL;}/** 找结点(x)的后继结点。即，查找"红黑树中数据值大于该结点"的"最小结点"。*/template <class T>RBTNode<T>* RBTree<T>::successor(RBTNode<T> *x){// 如果x存在右孩子，则"x的后继结点"为 "以其右孩子为根的子树的最小结点"。if (x->right != NULL)return minimum(x->right);// 如果x没有右孩子。则x有以下两种可能：// (01) x是"一个左孩子"，则"x的后继结点"为 "它的父结点"。// (02) x是"一个右孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有左孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的后继结点"。RBTNode<T>* y = x->parent;while ((y != NULL) && (x == y->right)){x = y;y = y->parent;}return y;}/** 找结点(x)的前驱结点。即，查找"红黑树中数据值小于该结点"的"最大结点"。*/template <class T>RBTNode<T>* RBTree<T>::predecessor(RBTNode<T> *x){// 如果x存在左孩子，则"x的前驱结点"为 "以其左孩子为根的子树的最大结点"。if (x->left != NULL)return maximum(x->left);// 如果x没有左孩子。则x有以下两种可能：// (01) x是"一个右孩子"，则"x的前驱结点"为 "它的父结点"。// (01) x是"一个左孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有右孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的前驱结点"。RBTNode<T>* y = x->parent;while ((y != NULL) && (x == y->left)){x = y;y = y->parent;}return y;}/** 对红黑树的节点(x)进行左旋转** 左旋示意图(对节点x进行左旋)：*      px                              px*     /                               /*    x                               y*   /  \      --(左旋)-->           / \                #*  lx   y                          x  ry*     /   \                       /  \*    ly   ry                     lx  ly***/template <class T>void RBTree<T>::leftRotate(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* x){// 设置x的右孩子为yRBTNode<T> *y = x->right;// 将 “y的左孩子” 设为 “x的右孩子”；// 如果y的左孩子非空，将 “x” 设为 “y的左孩子的父亲”x->right = y->left;if (y->left != NULL)y->left->parent = x;// 将 “x的父亲” 设为 “y的父亲”y->parent = x->parent;if (x->parent == NULL){root = y;            // 如果 “x的父亲” 是空节点，则将y设为根节点}else{if (x->parent->left == x)x->parent->left = y;    // 如果 x是它父节点的左孩子，则将y设为“x的父节点的左孩子”elsex->parent->right = y;    // 如果 x是它父节点的左孩子，则将y设为“x的父节点的左孩子”}// 将 “x” 设为 “y的左孩子”y->left = x;// 将 “x的父节点” 设为 “y”x->parent = y;}/** 对红黑树的节点(y)进行右旋转** 右旋示意图(对节点y进行左旋)：*            py                               py*           /                                /*          y                                x*         /  \      --(右旋)-->            /  \                     #*        x   ry                           lx   y*       / \                                   / \                   #*      lx  rx                                rx  ry**/template <class T>void RBTree<T>::rightRotate(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* y){// 设置x是当前节点的左孩子。RBTNode<T> *x = y->left;// 将 “x的右孩子” 设为 “y的左孩子”；// 如果"x的右孩子"不为空的话，将 “y” 设为 “x的右孩子的父亲”y->left = x->right;if (x->right != NULL)x->right->parent = y;// 将 “y的父亲” 设为 “x的父亲”x->parent = y->parent;if (y->parent == NULL){root = x;            // 如果 “y的父亲” 是空节点，则将x设为根节点}else{if (y == y->parent->right)y->parent->right = x;    // 如果 y是它父节点的右孩子，则将x设为“y的父节点的右孩子”elsey->parent->left = x;    // (y是它父节点的左孩子) 将x设为“x的父节点的左孩子”}// 将 “y” 设为 “x的右孩子”x->right = y;// 将 “y的父节点” 设为 “x”y->parent = x;}/** 红黑树插入修正函数** 在向红黑树中插入节点之后(失去平衡)，再调用该函数；* 目的是将它重新塑造成一颗红黑树。** 参数说明：*     root 红黑树的根*     node 插入的结点        // 对应《算法导论》中的z*/template <class T>void RBTree<T>::insertFixUp(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* node){RBTNode<T> *parent, *gparent;// 若“父节点存在，并且父节点的颜色是红色”while ((parent = rb_parent(node)) && rb_is_red(parent)){gparent = rb_parent(parent);//若“父节点”是“祖父节点的左孩子”if (parent == gparent->left){// Case 1条件：叔叔节点是红色{RBTNode<T> *uncle = gparent->right;if (uncle && rb_is_red(uncle)){rb_set_black(uncle);rb_set_black(parent);rb_set_red(gparent);node = gparent;continue;}}// Case 2条件：叔叔是黑色，且当前节点是右孩子if (parent->right == node){RBTNode<T> *tmp;leftRotate(root, parent);tmp = parent;parent = node;node = tmp;}// Case 3条件：叔叔是黑色，且当前节点是左孩子。rb_set_black(parent);rb_set_red(gparent);rightRotate(root, gparent);}else//若“z的父节点”是“z的祖父节点的右孩子”{// Case 1条件：叔叔节点是红色{RBTNode<T> *uncle = gparent->left;if (uncle && rb_is_red(uncle)){rb_set_black(uncle);rb_set_black(parent);rb_set_red(gparent);node = gparent;continue;}}// Case 2条件：叔叔是黑色，且当前节点是左孩子if (parent->left == node){RBTNode<T> *tmp;rightRotate(root, parent);tmp = parent;parent = node;node = tmp;}// Case 3条件：叔叔是黑色，且当前节点是右孩子。rb_set_black(parent);rb_set_red(gparent);leftRotate(root, gparent);}}// 将根节点设为黑色rb_set_black(root);}/** 将结点插入到红黑树中** 参数说明：*     root 红黑树的根结点*     node 插入的结点        // 对应《算法导论》中的node*/template <class T>void RBTree<T>::insert(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* node){RBTNode<T> *y = NULL;RBTNode<T> *x = root;// 1. 将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点添加到二叉查找树中。while (x != NULL){y = x;if (node->key < x->key)x = x->left;elsex = x->right;}node->parent = y;if (y != NULL){if (node->key < y->key)y->left = node;elsey->right = node;}elseroot = node;// 2. 设置节点的颜色为红色node->color = RED;// 3. 将它重新修正为一颗二叉查找树insertFixUp(root, node);}/** 将结点(key为节点键值)插入到红黑树中** 参数说明：*     tree 红黑树的根结点*     key 插入结点的键值*/template <class T>void RBTree<T>::insert(T key){RBTNode<T> *z = NULL;// 如果新建结点失败，则返回。if ((z = new RBTNode<T>(key, BLACK, NULL, NULL, NULL)) == NULL)return;insert(mRoot, z);}/** 红黑树删除修正函数** 在从红黑树中删除插入节点之后(红黑树失去平衡)，再调用该函数；* 目的是将它重新塑造成一颗红黑树。** 参数说明：*     root 红黑树的根*     node 待修正的节点*/template <class T>void RBTree<T>::removeFixUp(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T> *node, RBTNode<T> *parent){RBTNode<T> *other;while ((!node || rb_is_black(node)) && node != root){if (parent->left == node){other = parent->right;if (rb_is_red(other)){// Case 1: x的兄弟w是红色的  rb_set_black(other);rb_set_red(parent);leftRotate(root, parent);other = parent->right;}if ((!other->left || rb_is_black(other->left)) &&(!other->right || rb_is_black(other->right))){// Case 2: x的兄弟w是黑色，且w的俩个孩子也都是黑色的  rb_set_red(other);node = parent;parent = rb_parent(node);}else{if (!other->right || rb_is_black(other->right)){// Case 3: x的兄弟w是黑色的，并且w的左孩子是红色，右孩子为黑色。  rb_set_black(other->left);rb_set_red(other);rightRotate(root, other);other = parent->right;}// Case 4: x的兄弟w是黑色的；并且w的右孩子是红色的，左孩子任意颜色。rb_set_color(other, rb_color(parent));rb_set_black(parent);rb_set_black(other->right);leftRotate(root, parent);node = root;break;}}else{other = parent->left;if (rb_is_red(other)){// Case 1: x的兄弟w是红色的  rb_set_black(other);rb_set_red(parent);rightRotate(root, parent);other = parent->left;}if ((!other->left || rb_is_black(other->left)) &&(!other->right || rb_is_black(other->right))){// Case 2: x的兄弟w是黑色，且w的俩个孩子也都是黑色的  rb_set_red(other);node = parent;parent = rb_parent(node);}else{if (!other->left || rb_is_black(other->left)){// Case 3: x的兄弟w是黑色的，并且w的左孩子是红色，右孩子为黑色。  rb_set_black(other->right);rb_set_red(other);leftRotate(root, other);other = parent->left;}// Case 4: x的兄弟w是黑色的；并且w的右孩子是红色的，左孩子任意颜色。rb_set_color(other, rb_color(parent));rb_set_black(parent);rb_set_black(other->left);rightRotate(root, parent);node = root;break;}}}if (node)rb_set_black(node);}/** 删除结点(node)，并返回被删除的结点** 参数说明：*     root 红黑树的根结点*     node 删除的结点*/template <class T>void RBTree<T>::remove(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T> *node){RBTNode<T> *child, *parent;RBTColor color;// 被删除节点的"左右孩子都不为空"的情况。if ((node->left != NULL) && (node->right != NULL)){// 被删节点的后继节点。(称为"取代节点")// 用它来取代"被删节点"的位置，然后再将"被删节点"去掉。RBTNode<T> *replace = node;// 获取后继节点replace = replace->right;while (replace->left != NULL)replace = replace->left;// "node节点"不是根节点(只有根节点不存在父节点)if (rb_parent(node)){if (rb_parent(node)->left == node)rb_parent(node)->left = replace;elserb_parent(node)->right = replace;}else// "node节点"是根节点，更新根节点。root = replace;// child是"取代节点"的右孩子，也是需要"调整的节点"。// "取代节点"肯定不存在左孩子！因为它是一个后继节点。child = replace->right;parent = rb_parent(replace);// 保存"取代节点"的颜色color = rb_color(replace);// "被删除节点"是"它的后继节点的父节点"if (parent == node){parent = replace;}else{// child不为空if (child)rb_set_parent(child, parent);parent->left = child;replace->right = node->right;rb_set_parent(node->right, replace);}replace->parent = node->parent;replace->color = node->color;replace->left = node->left;node->left->parent = replace;if (color == BLACK)removeFixUp(root, child, parent);delete node;return;}if (node->left != NULL)child = node->left;elsechild = node->right;parent = node->parent;// 保存"取代节点"的颜色color = node->color;if (child)child->parent = parent;// "node节点"不是根节点if (parent){if (parent->left == node)parent->left = child;elseparent->right = child;}elseroot = child;if (color == BLACK)removeFixUp(root, child, parent);delete node;}/** 删除红黑树中键值为key的节点** 参数说明：*     tree 红黑树的根结点*/template <class T>void RBTree<T>::remove(T key){RBTNode<T> *node;// 查找key对应的节点(node)，找到的话就删除该节点if ((node = search(mRoot, key)) != NULL)remove(mRoot, node);}/** 销毁红黑树*/template <class T>void RBTree<T>::destroy(RBTNode<T>* &tree){if (tree == NULL)return;if (tree->left != NULL)return destroy(tree->left);if (tree->right != NULL)return destroy(tree->right);delete tree;tree = NULL;}template <class T>void RBTree<T>::destroy(){destroy(mRoot);}/** 打印"二叉查找树"** key        -- 节点的键值* direction  --  0，表示该节点是根节点;*               -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;*                1，表示该节点是它的父结点的右孩子。*/template <class T>void RBTree<T>::print(RBTNode<T>* tree, T key, int direction){if (tree != NULL){if (direction == 0)    // tree是根节点cout << setw(2) << tree->key << "(B) is root" << endl;else                // tree是分支节点cout << setw(2) << tree->key << (rb_is_red(tree) ? "(R)" : "(B)") << " is " << setw(2) << key << "'s " << setw(12) << (direction == 1 ? "right child" : "left child") << endl;print(tree->left, tree->key, -1);print(tree->right, tree->key, 1);}}template <class T>void RBTree<T>::print(){if (mRoot != NULL)print(mRoot, mRoot->key, 0);}#endif

/*** C++ 语言: 二叉查找树** @author skywang* @date 2013/11/07*/#include <iostream>#include "RBTree.h"using namespace std;int main(){int a[] = { 10, 40, 30, 60, 90, 70, 20, 50, 80 };int check_insert = 0;    // "插入"动作的检测开关(0，关闭；1，打开)int check_remove = 0;    // "删除"动作的检测开关(0，关闭；1，打开)int i;int ilen = (sizeof(a)) / (sizeof(a[0]));RBTree<int>* tree = new RBTree<int>();cout << "== 原始数据: ";for (i = 0; i<ilen; i++)cout << a[i] << " ";cout << endl;for (i = 0; i<ilen; i++){tree->insert(a[i]);// 设置check_insert=1,测试"添加函数"if (check_insert){cout << "== 添加节点: " << a[i] << endl;cout << "== 树的详细信息: " << endl;tree->print();cout << endl;}}cout << "== 前序遍历: ";tree->preOrder();cout << "\n== 中序遍历: ";tree->inOrder();cout << "\n== 后序遍历: ";tree->postOrder();cout << endl;cout << "== 最小值: " << tree->minimum() << endl;cout << "== 最大值: " << tree->maximum() << endl;cout << "== 树的详细信息: " << endl;tree->print();// 设置check_remove=1,测试"删除函数"if (check_remove){for (i = 0; i<ilen; i++){tree->remove(a[i]);cout << "== 删除节点: " << a[i] << endl;cout << "== 树的详细信息: " << endl;tree->print();cout << endl;}}// 销毁红黑树tree->destroy();system("pause");return 0;}