线性筛素数

初始思想

思想是很简单的。假设要筛出1~n的素数，就先从最小的素数2开始，把2的j倍（2<2∗j<=n,j∈Z）都“筛出去”，然后再从素数3开始，把3的j倍(3<3∗j<=n,j∈Z)“筛出去”，以此类推，就可以把不是素数的全部筛除。

void make_p(int n){    memset(vis,1,sizeof(vis));    vis[0]=vis[1]=0;    for (int i=2;i<=n;i++) if (vis[i])    for (int j=2;j<=n/i;j++) vis[i*j]=false;}

实际上可以优化一下，只需要枚举到n√就行了，并且由于j*i(1<=j<=i−1，j∈Z)之前肯定筛过了，所以j可以从i开始枚举。

void make_p(int n){    memset(vis,1,sizeof(vis));    vis[0]=vis[1]=0;    for (int i=2;i<=sqrt(n);i++) if (vis[i])    for (int j=i;j<=n/i;j++) vis[i*j]=false;}

优化过后的初始思想其实很不错了，但是还可以做到更好。

优化思想

我们会发现初始思想有些数筛了多次，比如30，在2*15、3*10以及5*6都筛过了。这样就会导致效率不高（但是实际上好像初始思想并不是特别糟糕，刘汝佳说是O(n∗log2n)的，太弱了证明不来），所以我们可以进行优化。
优化思想可以保证1~n的任何数都不会筛过重，我们先看代码，再来讨论效率的问题：

int make_p(int n){    memset(vis,1,sizeof(vis));vis[0]=vis[1]=false;    for (int i=2;i<=n;i++)    {        if (vis[i]) p[++p[0]]=i;        for (int j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<=n;j++)        {            vis[p[j]*i]=false;            if (i%p[j]==0) break; //判断语句        }    }}

看起来好像并不是线性的，但是实际上我们可以证明没有任何数筛了两次（即效率是线性的）。
①当i是素数的时候，由于目前i是最大的素数，所以任何一个已知素数*i之前都不会出现过。
②当i不是素数的时候，枚举j时的那个判断语句就起到作用了。设i唯一分解之后最小的素数是pk1，那么>pk1的素数都不会用来筛，为什么呢？设i=pak1k1∗pak2k2∗…∗pakrkr，如果用了大于pk1的素数比如pk2，i∗pk2就会被筛，但是实际上，i∗pk2/pk1(i<i∗pk2/pk1<i∗pk2)用pk1也会筛到i∗pk2，导致筛重，所以大于pk1的素数并不需要用到。