哈希算法

一.概念

Hash表也称散列表，也有直接译作哈希表，Hash表是一种特殊的数据结构，哈希表就是一种以 键-值(key-indexed) 存储数据的结构。

它能够快速定位到想要查找的记录，而不是与表中存在的记录的关键字进行比较来进行查找。这个源于Hash表设计的特殊性，它采用了函数映射的思想将记录的存储位置与记录的关键字关联起来，从而能够很快速地进行查找。

哈希的思路很简单，如果所有的键都是整数，那么就可以使用一个简单的无序数组来实现：将键作为索引，值即为其对应的值，这样就可以快速访问任意键的值。这是对于简单的键的情况，我们将其扩展到可以处理更加复杂的类型的键。
使用哈希查找有两个步骤:
1. 使用哈希函数将被查找的键转换为数组的索引。在理想的情况下，不同的键会被转换为不同的索引值，但是在有些情况下我们需要处理多个键被哈希到同一个索引值的情况。所以哈希查找的第二个步骤就是处理冲突
2. 处理哈希碰撞冲突。有很多处理哈希碰撞冲突的方法，后面会讲
哈希表是一个在时间和空间上做出权衡的经典例子。如果没有内存限制，那么可以直接将键作为数组的索引。那么所有的查找时间复杂度为O(1)；如果没有时间限制，那么我们可以使用无序数组并进行顺序查找，这样只需要很少的内存。哈希表使用了适度的时间和空间来在这两个极端之间找到了平衡。只需要调整哈希函数算法即可在时间和空间上做出取舍。

在Hash表中，记录在表中的位置和其关键字之间存在着一种确定的关系。这样我们就能预先知道所查关键字在表中的位置，从而直接通过下标找到记录。使ASL趋近与0.

1)哈希(Hash)函数是一个映象，即： 将关键字的集合映射到某个地址集合上，它的设置很灵活，只要这个地址集合的大小不超出允许范围即可；2)由于哈希函数是一个压缩映象，因此，在一般情况下，很容易产生“冲突”现象，即： key1！=key2，而f(key1)=f(key2)。3)只能尽量减少冲突而不能完全避免冲突，这是因为通常关键字集合比较大，其元素包括所有可能的关键字， 而地址集合的元素仅为哈希表中的地址值

在构造这种特殊的“查找表” 时，除了需要选择一个“好”(尽可能少产生冲突)的哈希函数之外；还需要找到一 种“处理冲突” 的方法。

二、Hash表的设计思想

　　对于一般的线性表，比如链表，如果要存储联系人信息：　

张三 13980593357李四 15828662334王五 13409821234张帅 13890583472

　　那么可能会设计一个结构体包含姓名，手机号码这些信息，然后把4个联系人的信息存到一张链表中。当要查找”李四 15828662334“这条记录是否在这张链表中或者想要得到李四的手机号码时，可能会从链表的头结点开始遍历，依次将每个结点中的姓名同”李四“进行比较，直到查找成功或者失败为止，这种做法的时间复杂度为O(n)。即使采用二叉排序树进行存储，也最多为O(logn)。假设能够通过”李四“这个信息直接获取到该记录在表中的存储位置，就能省掉中间关键字比较的这个环节，复杂度直接降到O(1)。Hash表就能够达到这样的效果。

　　Hash表采用一个映射函数 f : key —> address 将关键字映射到该记录在表中的存储位置，从而在想要查找该记录时，可以直接根据关键字和映射关系计算出该记录在表中的存储位置，通常情况下，这种映射关系称作为Hash函数，而通过Hash函数和关键字计算出来的存储位置(注意这里的存储位置只是表中的存储位置，并不是实际的物理地址)称作为Hash地址。比如上述例子中，假如联系人信息采用Hash表存储，则当想要找到“李四”的信息时，直接根据“李四”和Hash函数计算出Hash地址即可。下面讨论一下Hash表设计中的几个关键问题。

三、Hash函数

　　Hash函数设计的好坏直接影响到对Hash表的操作效率。下面举例说明：

　　假如对上述的联系人信息进行存储时，采用的Hash函数为：姓名的每个字的拼音开头大写字母的ASCII码之和。

　　因此address(张三)=ASCII(Z)+ASCII(S)=90+83=173;

　　　　address(李四)=ASCII(L)+ASCII(S)=76+83=159;

　　　　address(王五)=ASCII(W)+ASCII(W)=87+87=174;

　　　　address(张帅)=ASCII(Z)+ASCII(S)=90+83=173;

　　假如只有这4个联系人信息需要进行存储，这个Hash函数设计的很糟糕。首先，它浪费了大量的存储空间，假如采用char型数组存储联系人信息的话，则至少需要开辟174*12字节的空间，空间利用率只有4/174，不到5%；另外，根据Hash函数计算结果之后，address(张三)和address(李四)具有相同的地址，这种现象称作冲突，对于174个存储空间中只需要存储4条记录就发生了冲突，这样的Hash函数设计是很不合理的。所以在构造Hash函数时应尽量考虑关键字的分布特点来设计函数使得Hash地址随机均匀地分布在整个地址空间当中。
　　通常有以下几种构造Hash函数的方法：

1)直接定址法

　　取关键字或者关键字的某个线性函数为Hash地址，即address(key)=a*key+b;如知道学生的学号从2000开始，最大为4000，则可以将address(key)=key-2000作为Hash地址。

2)平方取中法

　　对关键字进行平方运算，然后取结果的中间几位作为Hash地址。假如有以下关键字序列{421，423，436}，平方之后的结果为{177241，178929，190096}，那么可以取{72，89，00}作为Hash地址。

3)折叠法

　　将关键字拆分成几部分，然后将这几部分组合在一起，以特定的方式进行转化形成Hash地址。假如知道图书的ISBN号为8903-241-23，可以将address(key)=89+03+24+12+3作为Hash地址。

4)除留取余法

　　如果知道Hash表的最大长度为m，可以取不大于m的最大质数p，然后对关键字进行取余运算，address(key)=key%p。

　　在这里p的选取非常关键，p选择的好的话，能够最大程度地减少冲突，p一般取不大于m的最大质数。

四、Hash表大小的确定

　　Hash表大小的确定也非常关键，如果Hash表的空间远远大于最后实际存储的记录个数，则造成了很大的空间浪费，如果选取小了的话，则容易造成冲突。在实际情况中，一般需要根据最终记录存储个数和关键字的分布特点来确定Hash表的大小。还有一种情况时可能事先不知道最终需要存储的记录个数，则需要动态维护Hash表的容量，此时可能需要重新计算Hash地址。

五、冲突的解决

　　在上述例子中，发生了冲突现象，因此需要办法来解决，否则记录无法进行正确的存储。通常情况下有2种解决办法：

1)开放定址法

　　即当一个关键字和另一个关键字发生冲突时，使用某种探测技术在Hash表中形成一个探测序列，然后沿着这个探测序列依次查找下去，当碰到一个空的单元时，则插入其中。比较常用的探测方法有线性探测法，比如有一组关键字{12，13，25，23，38，34，6，84，91}，Hash表长为14，Hash函数为address(key)=key%11，当插入12，13，25时可以直接插入，而当插入23时，地址1被占用了，因此沿着地址1依次往下探测(探测步长可以根据情况而定)，直到探测到地址4，发现为空，则将23插入其中。

2)链地址法

　　采用数组和链表相结合的办法，将Hash地址相同的记录存储在一张线性表中，而每张表的表头的序号即为计算得到的Hash地址。如上述例子中，采用链地址法形成的Hash表存储表示为：

　　虽然能够采用一些办法去减少冲突，但是冲突是无法完全避免的。因此需要根据实际情况选取解决冲突的办法。

六、Hash表的平均查找长度

　　Hash表的平均查找长度包括查找成功时的平均查找长度和查找失败时的平均查找长度。

　　查找成功时的平均查找长度=表中每个元素查找成功时的比较次数之和/表中元素个数；

　　查找不成功时的平均查找长度相当于在表中查找元素不成功时的平均比较次数，可以理解为向表中插入某个元素，该元素在每个位置都有可能，然后计算出在每个位置能够插入时需要比较的次数，再除以表长即为查找不成功时的平均查找长度。

　　下面举个例子：

　　有一组关键字{7、8、30、11、18、9、14}，表长为9，Hash函数为 H(key) = (keyx3) MOD 7，则关键字在表中的存储如下：

地址 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 关键字 7 14 8 11 30 18 9 比较次数 1 2 1 1 1 3 3

　　因此查找成功时的平均查找长度为总的查找成功的平均查找长度= （1+1+1+1+3+3+2）/7 = 12/7

【解题的关键之处】根据哈希函数地址为MOD7，因此任何一个数经散列函数计算以后的初始地址只可能在0~6的位置
　

计算查找不成功的次数就直接找关键字到第一个地址上关键字为空的距离即可

    等概率情况下，查找0~6位置查找失败的查找次数为：    地址0，到第一个关键字为空的地址2的距离为3，因此查找不成功的次数为3.         地址1，到第一个关键为空的地址2的距离为2，因此查找不成功的次数为2.    地址2，到第一个关键为空的地址2的距离为1，因此查找不成功的次数为1.    地址3，到第一个关键为空的地址4的距离为2，因此查找不成功的次数为2.    地址4，到第一个关键为空的地址4的距离为1，因此查找不成功的次数为1.    地址5，到第一个关键为空的地址2(注意不是地址9，因为初始只可能在0~6之间，因此循环回去)的距离为5，因此查找不成功的次数为5.    地址6，到第一个关键为空的地址2(注意不是地址9，因为初始只可能在0~6之间，因此循环回去)的距离为4，因此查找不成功的次数为4.

查找不成功的平均查找长度 = （3+2+1+2+1+5+4）/7 = 18/7

　　这里有一个概念装填因子=表中的记录数/哈希表的长度，如果装填因子越小，表明表中还有很多的空单元，则发生冲突的可能性越小；而装填因子越大，则发生冲突的可能性就越大，在查找时所耗费的时间就越多。因此，Hash表的平均查找长度和装填因子有关。有相关文献证明当装填因子在0.5左右的时候，Hash的性能能够达到最优。因此，一般情况下，装填因子取经验值0.5。

七、Hash表的优缺点

　　Hash表存在的优点显而易见，能够在常数级的时间复杂度上进行查找，并且插入数据和删除数据比较容易。但是它也有某些缺点，比如不支持排序，一般比用线性表存储需要更多的空间，并且记录的关键字不能重复。

八、代码

/*Hash表，采用数组实现*/ #include<stdio.h>#define DataType int#define M 30typedef struct HashNode    {    DataType data;    //存储值     int isNull;           //标志该位置是否已被填充 }HashTable;HashTable hashTable[M];void initHashTable()     //对hash表进行初始化 {    int i;    for(i = 0; i<M; i++)    {        hashTable[i].isNull = 1;    //初始状态为空     }}int getHashAddress(DataType key)    //Hash函数 {    return key % 29;     //Hash函数为 key%29 }int insert(DataType key)    //向hash表中插入元素 {    int address = getHashAddress(key);           if(hashTable[address].isNull == 1)  //没有发生冲突     {        hashTable[address].data = key;        hashTable[address].isNull = 0;    }    else    //当发生冲突的时候     {        while(hashTable[address].isNull == 0 && address<M)        {            address++;     //采用线性探测法，步长为1         }        if(address == M)    //Hash表发生溢出             return -1;        hashTable[address].data = key;        hashTable[address].isNull = 0;    }    return 0;}int find(DataType key)      //进行查找 {    int address = getHashAddress(key);    while( !(hashTable[address].isNull == 0 && hashTable[address].data == key && address<M))    {        address++;    }     if( address == M)        address = -1;    return address;}int main(int argc, char *argv[]){    int key[]={123,456,7000,8,1,13,11,555,425,393,212,546,2,99,196};    int i;    initHashTable();    for(i = 0; i<15; i++)    {        insert(key[i]);    }    for(i = 0; i<15; i++)    {        int address;        address = find(key[i]);        printf("%d %d\n", key[i],address);    }    return 0;}