BZOJ 2818 Gcd （数论 欧拉）

【bzoj2818】Gcd

2014年6月15日3,0930
Description

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.

Input

一个整数N

Output

如题

Sample Input

4
Sample Output

4
HINT

hint
对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

思路：
求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对
我们考虑枚举每个素数，那么就变成求Gcd(x/p,y/p)为1的数对(x/p,y/p)有多少对。总会找到一个x使得x%p==0且x < n，相对应得y就应该满足Gcd(x/p,y/p)为1。对于每一个x/p，就有phi（x/p）个y。也就是说每个素数p对于答案的贡献就是（1 ~ n / p） 中有序互质对的个数。
所以有序互质对的个数为（1 ~ n/p）的欧拉函数之和乘2减1（要求的是有序互质对，乘2以后减去（1， 1）多算的一次）。
那么就只需要先筛出欧拉函数再求个前缀和就可以了。

#include <cstdio>#include <iostream>#define LL long longusing namespace std;const int N = 1e7+10;int primesize, n;int prime[N], phi[N];bool isnot[N];LL sum[N];void init(){    isnot[1] = 1;    phi[1] = 1;    sum[1] = 1;    for(int i=2; i<=n; i++){        if( !isnot[i] ){            prime[++primesize] = i;            phi[i] = i - 1;        }        for(int t=1; t<=primesize; t++){            int j = prime[t] * i;            if( j > n ) break;//避免崩溃             isnot[j] = 1;            phi[j] = phi[i] * phi[prime[t]];            if(i % prime[t] == 0){                phi[j] = prime[t] * phi[i];                break;            }        }        sum[i] = sum[i-1] + phi[i];    }}int main(){    scanf("%d", &n);    LL ans = 0, tot = 0;    init();    for(int i=1; prime[i]<=n && prime[i]; i++){        ans += sum[n/prime[i]];        tot++;    }    ans *= 2;    ans -= tot;//x==y的情况去重    printf("%lld", ans);    return 0;}