三个学生猜数字

来源：互联网发布：爱微游一样的软件编辑：程序博客网时间：2024/05/17 23:01

一个教授逻辑学的教授，有三个学生，而且三个学生均非常聪明！一天教授给他们出了一个题，教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条上都写了一个正整数，且某两个数的和等于第三个！（每个人可以看见另两个数，但看不见自己的）教授问第一个学生：你能猜出自己的数吗？回答：不能问第二个，不能第三个，不能再问第一个，不能第二个，不能第三个：我猜出来了，是144！教授很满意的笑了。请问您能猜出另外两个人的数吗？请问：第三个人是怎么猜出来的？你是怎么猜出另外两个数的？

为什么之前发了一遍给我吞了？？？？？重发一遍

搬运一份好的解法：

链接（非原文出处）：http://www.genshuixue.com/i-gmat/p/338534

作者：曾加

Excited！！！
这真是一个十分有趣，但细究却十分复杂的问题。

先说本题的正解，一共5组：
（36，108）（108，36）（32，112）（64，80）（54，90）

很不可思议吧？
先说为什么对，再说怎么解。

【1】基础：为什么这些是正解？

假设 3 个人分别是 A，B，C；

以（36，108）为例；

大前提：在第一轮中，所有人都知道了，自己的答案只可能是两个数之一；

所需条件 R：排除掉其中一个（就一定能猜到另一个）；

在第二轮中，C 运用了两层逻辑：

前提：自己是 72 或 144；

假设 1：自己是 72；
推论 1：B 应该是 36 或 108；
——假设 2：假如 B 是 36；
————推论 2：C 应该能判断出自己是 72；
————已知 1：C 第一轮没有猜出；
——故假设2 不成立！
——推论 3：B 应该在第二轮排除 36 （条件 R 达成）；
——已知 2：B 没有在第二轮猜出；
故假设1 不成立！

条件R 达成，C 成功猜出！

（36，108）是一个比较简单的情况，仅仅用了两层逻辑。但是其他解其实就没有那么显然了，可能是三层、四层甚至五层逻辑……（逻辑学教授恐怕也会被绕晕吧？）

所以请看第二部分：如何得到正解。

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【2】进阶：如何得到正解？

但是我们之前并不知道答案，那如何推得答案呢？

我的方法是，从逻辑上，一层层死推，不要放过任何一个线索；

本题一共 5 个条件，即前 5 次大家都不知道正解；
还有一个隐藏条件（即真正的大前提）：0 不是正整数；
总计6个条件；

接下来，就是放大招的时刻了！

说明：

下面，是每一个轮的每一个回合中，某方恰能猜出来的所有必要条件；
在下面的推导过程中，所有小括号（）内数字比例都是 A：B：C；
中括号【】内是指该轮猜出运用的条件；

【0】： 0不是正整数（所以若看到另外两个数字相同，则自己必然是它们的和）；

第 1 轮：

【1.1】A 猜出

B 和 C 相同（2：1：1）【0】；

【1.2】B 猜出

A 和 C 相同（1：2：1）【0】
A 是 C 的 2 倍（2：3：1）【1.1】；

（理解：B 看到 A：C=2：1，但是 A 没有猜出，所以 B 不是1，而是 3，这就是排除错误选项的方法，而这个逻辑是后面所有推论的核心逻辑：细究前面的人没有猜出的原因）

【1.3】C 猜出

A 和 B 相同（1：1：2）【0】
A 是 B 的 2 倍（2：1：3）【1.1】
B 是 A 的 2 倍（1：2：3）【1.2】
B 比 A 多 50%（2：3：5）【1.2】

第 2 轮：

（从此轮开始，每一个人的推导，都是以前两个人未猜出的表现为依据，所以每种情况的解的个数是前两个之和）

【2.1】A 猜出

（3：2：1）【1.2】
（4：3：1）【1.2】
（3：1：2）【1.3】
（4：1：3）【1.3】
（5：2：3）【1.3】
（8：3：5）【1.3】

【2.2】B 猜出

（1：3：2）【1.3】
（2：5：3）【1.3】
（1：4：3）【1.3】
（2：7：5）【1.3】
（3：4：1）【2.1】
（4：5：1）【2.1】
（3：5：2）【2.1】
（4：7：3）【2.1】
（5：8：3）【2.1】
（8：13：5）【2.1】

【2.3】 C 猜出（即本题）

（3：2：5）【2.1】
（4：3：7）【2.1】
（3：1：4）【2.1】
（4：1：5）【2.1】
（5：2：7）【2.1】
（8：3：11）【2.1】
（1：3：4）【2.2】
（2：5：7）【2.2】
（1：4：5）【2.2】
（2：7：9）【2.2】
（3：4：7）【2.2】
（4：5：9）【2.2】
（3：5：8）【2.2】
（4：7：11）【2.2】
（5：8：13）【2.2】
（8：13：21）【2.2】

附上一张直观的图：

以上一共 16 组解，但由于本题要求正整数，所以数字比例中 C 必须是 144 的约数；
即（3：1：4），（1：3，4），（2：7：9），（4：5：9），（3：5：8）

综上，本题共有 5 组解：
（36，108）（108，36）（32，112）（64，80）（54，90）

幸好只有两轮，如果条件再多一点，恐怕我们就要动用计算机啦！
（嗯，动态规划嘛，可以当作算法题）

顺便，这里也给出第 n 次询问能等猜出答案的解的个数 a(n) 的递推公式：
$a(1)=1,a(2)=2,a(3)=4,$
$a(n)=a(n-1)+a(n-2),(n\geq 4)$

求：通项公式（这个是高中数学诶）：

我算出来的结果是：
$a(n)=\frac{\sqrt{5}+3 }{\sqrt{5} }(\frac{1+\sqrt{5} }{2} )^{n-2} + \frac{\sqrt{5}-3 }{\sqrt{5} }(\frac{1-\sqrt{5} }{2} )^{n-2} ,n>1$

这个就是大名鼎鼎的斐波那契数列的变体，
前 10 项分别是：1，2，4，6，10，16，26，42，68，110……

另外，我还发现了一个重要结论：
无论初始的三个数是多少，在有限轮内必然会有人猜出；

这个问题就交给大家探索啦；

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最后，我有一个小小的猜测：
这道题目居然出现在【逻辑】而不是【数学】或【算法】中，那么出这道题的人，很可能并没有做对这道题。一个可能的情况是，他只发现了（36，108）这一组解。

因为，逻辑学教授早已阵亡。

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2015-03-19

重点在于通过第一轮奠定整个解法的基础，即逆向思维通过确定每个人可以猜出结果的假设，来给下一个猜测者增加排除条件，从第二轮开始，轮数多的时候就只能用动态规划了。

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