训练赛---咏叹

咏叹

题目来源

安师大附中训练题目

题目大意

给定一个1到n的排列A，对其进行冒泡排序：

counter=0While A不是升序的    counter=counter+1    For i=1 to n-1        If A[i]>A[i+1]            Then Swap(A[i],A[i+1])        End If    End ForEnd While

那么经过几轮排序之后A序列会变成升序呢？(即counter变量的值)

输入格式

输入n,S,B,C,D五个整数,数据按以下方式生成：

For i=1 to n    A[i]=i    S=(S*B+C) mod D    Swap(A[i],A[(S mod i)+1])End For

输出格式

一行，一个整数，表示冒泡排序进行的轮数，即counter变量的值.

数据范围

对于30%的数据，1≤n≤103  
对于50%的数据，1≤n≤105  
对于70%的数据，1≤n≤106  
对于100%的数据，1≤n≤3×107，0≤S,B,C<D≤109+7  

限制

时间限制:2s
空间限制:233M (原题如此)

题解

按照冒泡排序进行模拟，O(n2)，30分.

我拿到题的第一反应是打表找规律，然而好像没有发现什么明显的规律。之后我就开始尝试寻找各种结论，然而都有反例。这个时候我意识到，解决这种问题必须要寻找出每次操作都遵循的不变量，或者是通行的规则。

首先我想到了逆序对，然而每一轮消去的逆序对数量是变化的，我们没有办法通过逆序对来求得最终的轮数。

然后我开始注意波浪形，关注波峰波谷以及上升链下降链，没有找到出路。

我开始关注到冒泡排序的逆操作，考虑在一个升序序列中交换一些数，会给答案带来怎样的贡献。也没有发现有用的性质。

几经磨难，我还是发现了正解。我们注意到，对于一个数而言，如果它的左侧存在比它大的数，那么这些比它大的数肯定会越过它，到达右侧的区域。而且每一轮操作左侧有且仅有一个比它大的数越过它。我们不妨将第i个数的左侧比A[i]大的数的个数记作f[i]，那么最终的轮数一定满足

counter≥max f[i] (1≤i≤n)

这个时候，我们猜想这个式子是取等号的。的确，对拍结果显示它的确是取的等号。为什么？自行意会，我说不清楚.

至此我们可以用树状数组维护左侧比A[i]小的数的个数，可得70分.

怎么优化呢？
对于A[i]=1而言,f[i]=i-A[i];
对于A[i]=2而言，如果1在2左侧，那么f[i]=i-A[i]成立；如果1在2右侧，那么f[i]一定不是最大值，因为1处的f值肯定大于f[i];以此类推，对于A[i]=k而言，如果1~k-1都在k左侧，则f[i]=i-A[i];否则，f[i]必定不是最大值。于是

counter=max (i−A[i])

至此我们得到了O(n)算法。要想拿满100分，必须要常数足够小；实际评测中，用long long的,取模较多的都只有70分.

Code

#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std; #define MAXN 30000500int S,B,C,D,A[MAXN],n; int main(){    scanf("%d%d%d%d%d",&n,&S,&B,&C,&D);    for(int i=1;i<=n;i++)    {        A[i]=i;        S=(1ll*S*B+C)%D;        swap(A[i],A[S%i+1]);    }    int ans=0;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        ans=max(ans,i-A[i]);    }    printf("%d\n",ans);    return 0;}

代码非常短！