有关子集枚举和容斥的一些问题

子集枚举

• 对于每一个二进制集合我们希望枚举它所有的子集要怎么办呢？
• 复杂度：3^m 的做法

for(int i=(1<<m)-1;i;--i)//复杂度：3^m     for(int j=(i-1)&i;j;j=(j-1)&i)//枚举所有的子集         collect(i,j);//把子集j的信息收集给i

复杂度 m*2^m的做法

for(int i=0;i<m;i++)for(int j=0;j<1<<m;j++)//复杂度 M*2^M     if(j&1<<i)collect(j,j^1<<i);//把子集j^1<<i的信息收集给j

容斥问题

礼物沙龙

• 以m=3为例
• ans（1,2,3）=B[111]−(B[101]+B[011]+B[110])+(B[010]+B[100]+B[001])
• (B[S]表式构成集合S的方案数)
• 仔细思考发现B[S]=2cnt[S](cnt[S]表示S的子集个数)此时问题就转化为求每个S的cnt[S]的问题了

#include<bits/stdc++.h> #define For(i,a,b) for(int i=a;i<b;++i)using namespace std;const int N=1<<21,P=1e9+7;int cnt[N],B[N],C[N],n,m,ans[N];int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    B[0]=1;For(i,1,n+1)B[i]=1ll*(B[i-1]<<1)%P;    for(int i=1,t,x,s;i<=n;++i){        scanf("%d",&t);s=0;        while(t--)            scanf("%d",&x),s|=1<<x-1;        ++cnt[s];    }    /**枚举子集:复杂度 M*2^M **/    For(i,0,m)For(j,0,1<<m)        if(j&1<<i)cnt[j]+=cnt[j^1<<i];    /**枚举子集:复杂度 M*2^M **/    For(j,0,1<<m)ans[j]=B[cnt[j]];    For(i,0,m)For(j,0,1<<m)        if(j&1<<i)ans[j]=(1ll*ans[j]-ans[j^1<<i]+P)%P;//去掉重复的     printf("%d",ans[(1<<m)-1]);    return 0;}

暴力的数论

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int C=50,MAX=1e9;typedef long long ll;int n,p,tot,pri[C];bool mark[MAX/C]; inline int calc(int x){    /*        对应一个p有a1,a2...a tot个比p小的质因子，我们把所有ai构成的数都去掉此时我们需要通过容斥        用二进制枚举一个集合S t= ∏ai*(S&1<<i);num-=x/t        但是一些数会被重复减到，我们发现如果如果集合中有奇数个元素x/t取正，反之取负    */    int res=x;    for(int S=1;S<1<<tot;++S){//枚举加容斥        int t=1,f=-1;        for(int i=0;i<tot;++i)if(S&1<<i)t*=pri[i],f*=-1;        res-=f*x/t;    }return res;}inline int S1(){    for(int i=2;i<p;++i)if(!mark[i]){        pri[tot++]=i;        for(int j=i*i;j<p;j+=i)mark[j]=1;    }    int L=1,R=MAX/p,res;    while(L<=R){        int mid=L+R>>1,t=calc(mid);        if(t==n)res=mid,R=mid-1;        else if(t<n)L=mid+1;        else R=mid-1;        //找满足calc(mid)==n的最小的mid,而calc()单调不递减的    }    if(calc(res)!=n)return 0;    return res*p;}inline int S2(){    if(n==1)return p;    memset(mark,1,sizeof(mark));    int mx=MAX/p;    for(int i=2,cnt=1;i<=mx;++i){        if(mark[i]){            if(i<p)for(ll j=i*i;j<=mx;j+=i)mark[j]=0;            else if(++cnt==n)return i*p;//无需再用mark来记录了        }    }return 0;}int main(){    scanf("%d%d",&n,&p);    printf("%d\n",p<50?S1():S2());    return 0;}