日常训练 20170605 费用流

对于一张给定的运输网络，Alice 先确定一个最大流，如果有多种解，Alice 可以任选一种；之后 Bob 在每条边上分配单位花费（单位花费必须是非负实数），要求所有边的单位花费之和等于 P 。总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。

需要注意到，Bob 在分配单位花费之前，已经知道 Alice 所给出的最大流方案。

现茌 Alice 希望总费用尽量小，而 Bob 希望总费用尽量大。我们想知道，如果两个人都执行最优策略，最大流的值和总费用分别为多少。

为了简化问题，我们假设源点 S 是点 1，汇点 T 是点 N 。

N≤100，M≤1000 所有点的编号在 1…N 范围内。1≤每条边的最大流量≤50000 , 1≤P≤10。给定运输网络中不会有起点和终点相同的边。

题解：显然 Bob 会把所有费用都放在 Alice 流量最大的一条边上，那么我们只要知道 Alice 最大流流量最大的边最小是多少，我们二分一下上界，就变成判定性问题了。然而一直卡在 70 是因为虽然最大流一定是整数，但最大流的边不一定都要是整数，所以二分要在小数范围内二分。

#include<bits/stdc++.h>const int N = 105;const int M = 1050;const double INF = 1e8;const double eps = 1e-5;template <typename T> void read(T &x) {    x = 0; char c = getchar();    for (; !isdigit(c); c = getchar());    for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';}int n, m, con, S, T, a[M], b[M], first[N], s, q[N], h[N], cur[N], MAX_FLOW, shit;double c[M];struct edge {    int y, next;    double v;}mp[M*2];void ins(int x, int y, double v) {    //printf("ins x=%d y=%d v=%d\n", x, y, v);    mp[++s] = (edge) {y, first[x], v}; first[x] = s;    mp[++s] = (edge) {x, first[y], 0}; first[y] = s;}void build(double UP) {    memset(first, 0, sizeof(first)); s = 1;    for (int i=1; i <= m; i++)        ins(a[i], b[i], std::min(c[i], UP));}bool bfs() {    for (int i=1; i <= N; i++)        h[i] = 0, cur[i] = first[i];    int head = 1, tail = 1;    h[q[head] = S] = 1;    for (int x=q[head]; head <= tail; x=q[++head])        for (int t=first[x]; t; t=mp[t].next)            if (mp[t].v > eps && !h[mp[t].y]){                h[mp[t].y] = h[x] + 1,                q[++tail] = mp[t].y;                if (mp[t].y == T) return 1;            }    return 0;}double dfs(int x, double f) {    if (x == T) return f;    double used = 0, b;    for (int t=cur[x]; t; t=cur[x]=mp[t].next)        if (h[x] + 1 == h[mp[t].y]) {            b = dfs(mp[t].y, std::min(mp[t].v, f - used));            mp[t].v -= b;            mp[t^1].v += b;            used += b;            if (fabs(used - f) < eps) return used;        }    h[x] = -1;    return used;}double Dinic(double UP) {    build(UP);    double ret = 0;    while (bfs()) ret += dfs(S, INF);    return ret;}int main() {    scanf("%d%d%d", &n, &m, &con);    for (int i=1; i <= m; i++)        read(a[i]), read(b[i]), scanf("%lf", &c[i]);    S = 1, T = n;    printf("%d\n", MAX_FLOW = (int)Dinic(INF));    double l = 0, r = INF;    while (l + eps < r) {        double mid = (l + r) / 2;        if (fabs(Dinic(mid) - MAX_FLOW) < eps)            r = mid;        else            l = mid;    }    printf("%.3f\n", l * con);    return 0;}