最小生成树-Kruskal算法

1、kruskal算法（克鲁斯卡尔）思想

该算法是基于贪心的思想得到的，假设有n个顶点的连通网G = {V,E} 中，最初每个顶点都是孤立点，没有边的非连通图G’= {V, E},图中每个顶点自成一个连通分量。把每条边按照权值从小到大排列，按照顺序选取每条边，若该边的两个顶点落在不同的连通分量上，则将此边加入到G’中；否则将此边舍去，重新选择下一条边。如此重复下去，直到所有顶点在同一个连通分量上为止。

2、算法流程

输入：图G(V,E)
输出：G的最小生成树

下面给出一个无向图B,我们使用Kruskal来找无向图B的最小生成树。

① 首先，根据每条边的权重把它们从小到大排序，选取权值最小的一条边（A,D），因为A,D不在同一个树，所以合并顶点A,D
所在的树。

②接着在剩下的边中找权值最小的边，找到了（C,E）, C,E不在同一个树，合并顶点C,E所在的树。

③ 不断重复上面的步骤，直到所有的顶点在同一个连通分量上为止。

至此，我们找到了无向图B的最小生成树。

3、python实现

下面用python实现找到上面无向图B的最小生成树。

#coding:utf-8from pylab import *inf=float('inf')#邻接矩阵表示vexs = array([[0,7,inf,5,inf,inf,inf],#A        [7,0,8,9,7,inf,inf],#B        [inf,8,0,inf,5,inf,inf],#C        [5,9,inf,0,15,6,inf],#D        [inf,7,5,15,0,8,9],#E        [inf,inf,inf,6,8,0,11],#F        [inf,inf,inf,inf,9,11,0]])#GlengthVex = len(vexs)                 #邻接矩阵大小beginEdge = []endEdge = []weight = []group = []for i in arange(lengthVex):            #生成边集数组    group.append([i])    for j in arange(i+1,lengthVex):        if(vexs[i, j]>0 and vexs[i, j]<INFINITY):            beginEdge.append(i)         #每条边的起点            endEdge.append(j)           #每条边的终点            weight.append(vexs[i, j])   #每条边的权值lengthEdge = len(weight)                #边的条数sum = 0for i in arange(lengthEdge):            #遍历每条边    I = (argsort(weight))[0]    for j in arange(lengthVex):        if(beginEdge[I]) in group[j]:            m = j        if(endEdge[I]) in group[j]:            n = j    if m != n:                          #判断当前这条边是否属于不同的连通分量，如果是，将其合并        group[m] = group[m] + group[n]        group[n] = []        sum = sum + weight[I]        print(weight[I])    del weight[I]                       #删除遍历过的边以及顶点    del beginEdge[I]    del endEdge[I]print("The length of the minimum cost spanning tree is: ",sum)

运行结果：

5,5,6,7,7,9表示组成最小生成树的边的权值，权值之和为39.