《算法导论》第18章 B树 个人笔记

第18章 B树

18.1 B树的定义

一棵B树T是具有以下性质的有根树（根为T.root）；
1、 每个结点x有下面属性：

• x.n，当前存储在结点x中的关键字个数
• x.n个关键字本身x.key1≤x.key2≤...≤x.keyx.n
• x.leaf，一个布尔值，如果x是叶节点，则为TRUE，否则为FALSE

2、每个内部结点x还包含x.n+1个指向其孩子的指针x.c1,x.c2,..,x.cx.n+1。叶节点没有孩子，所以它们的ci属性没有定义
3、 关键字x.keyi对存储在各子树中的关键字范围加以分割：如果ki为任意一个存储在以x.ci为根的子树中的关键字，那么有

k1≤x.key1≤k2≤xkey2≤...≤x.keyx.≤kx.n+1

4、每个叶节点具有相同的深度，即树的高度h
5、每个结点所包含的关键字个数有上届和下界，用一个被称为B树的最小度数的固定整数t≥2来表示这些界：

• 除了根结点以外的每个结点必须至少有t-1个关键字。因此，除了根结点以外的每个内部结点至少有t个孩子。如果树非空，根结点至少有一个关键字。
• 每个结点至少可包含2t-1个关键字。因此，一个内部结点至多可有2t个孩子。当一个结点恰好有2t-1个关键字时，则称该结点是满的。

定理：如果n≥1，那么对任意一棵包含n个关键字、高度为h、最小度数t≥2的B树T，有h≤logtn+12

18.2 B树上的基本操作

1、搜索B树

B-TREE-SEARCH(x,k)i = 1while i<=x.n && k > x.key[i]    i++if i <= x.n and k = x.key[i]    return (x,i)elif x.leaf    reurn NILelse DISK-READ(x.c[i])    return B-TREE-SEARCH(x.c[i],k)

2、创建一棵空的B树

B-TREE-CREATE(T)x = ALLOCATE-NODE()x.leaf = TRUEx.n = 0DISK-WRITE(x)T.root = x

3、向B树中插入一个关键字

• 分裂B树中的结点

B-TREE-SPLIT-CHILD(x, i)z = ALLOCATE-NODE()y = x.c[i]z.leaf = y.leafz.n = t-1for j=1 to t-1    z.key[i]=y.key[t+j]if !y.leaf    for j=1 to t        z.c[j]=y.c[t+j]y.n = t-1for j = x.n+1 downto i+1    x.key[j+1] = x.key[j]x.c[i+1] = zfor j = x.n downto i    x.key[j+1] = x.key[j]x.key[i] = y.key[t]x.n++DISK-WRITE(y)DISK-WRITE(z)DISK-WRITE(x)

• 沿树单程下行方式向B树插入关键字

B-TREE-INSERT(T,k)r = T.rootif r.n == 2t-1    s = ALLOCATE-NODE()    T.root = s    s.leaf = FALSE    s.n = 0    s.c = r    B-TREE-SPLIT-CHILD(s,1)    B-TREE-INSERT-NONFULL(s,k)else B-TREE-INSERT-NONFULL(r,k)B-TREE-INSERT-NONFULL(x,k)i = x.nif x.leaf    while i>=1 && k<x.key[i]        x.key[i+1] = x.key[i]        i--    x.key[i+1] = k    x.n++    DISK-WRITE(x)else     while i>=1 && k<x.key[i]        i--    i++    DISK-READ(x.c[i])    if x.c[i].n = 2t-1        B-TREE-SPLIT-CHILD(x,i)        if k > x.key[i]            i++    B-TREE-INSERT-NONFULL(x.c[i],k)