中国剩余定理

作用

给出如下模方程组：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x≡r1(mod m1)x≡r2(mod m2)……x≡rk(mod mk)

其中mi(1<=i<=k)两两互质，求解满足的最小x。

中国剩余定理也称孙子定理，可以高效求解上述问题。
ps：好像几乎不考中国剩余定理=_=

方法

举个孙子算经里的例子：（今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？）

⎧⎩⎨x≡2(mod 3)x≡3(mod 5)x≡2(mod 7)

定理①：当ax≡b(mod m)时，ax∗c≡b∗c(mod m)，这个很显然。
还可以得出x0+105k(k∈Z,k>=0）均为该问题的解（x0是最小解，105是3,5,7的最小公倍数）。

所以我们可以把原来的式子转变为这样：

⎧⎩⎨x≡1(mod 3)x≡0(mod 5)x≡0(mod 7)⎧⎩⎨x≡0(mod 3)x≡1(mod 5)x≡0(mod 7)⎧⎩⎨x≡0(mod 3)x≡0(mod 5)x≡1(mod 7)

分别求解这三个模方程组的答案(x1,x2,x3)，那么最后的答案x就等于2∗x1+3∗x2+5∗x3模105。

我们来看第一个方程组，为了让x满足x≡0(mod 5)和x≡0(mod 7)，我们需要保证x是lcm(5,7)=35的倍数，设x=35*y，那么这个方程组简化为35y≡1(mod 3)，也就变成了普通的模方程，用扩展欧几里得就可以求解出y=2即x=70。第二个方程组可以求解出x=21，第三个方程组可以求解出x=15。

那么最小解就是：(2*70+3*21+5*15) mod 105=23。（三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便可知。）

有了这个例子，就不难给出代码了。不过我感觉中国剩余定理适用范围并不是很广，因为我们要取所有mi的最小公倍数即Πmi，mi随便大一点就炸掉了，如果要写高精度需要除法，代码复杂度就很高了=_=。

模板

int China(int *w,int *m,int n){    int lcm=1,ans=0;for (int i=1;i<=n;i++) lcm*=m[i];    for (int i=1;i<=n;i++)    {        int x,y,M=lcm/m[i];exgcd(M,m[i],x,y);        ans=(ans+x*M*w[i])%lcm;    }    return (ans+lcm)%lcm;}

模板题

POJ1006，题解传送门。