最小生成树-Prim算法

1、算法概述
prim算法是图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和最小。

2、算法流程
(1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

(2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；

(3).重复下列操作，直到Vnew = V结束.
a.在集合E中选取权值最小的边(u, v)，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合Vnew中，将(u, v)边加入集合Enew中；

(4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

下面来看一个例子：
对于一个无向有权图，我们如何利用Prim算法来找到它的最小生成树呢?

① 任意找一个顶点D作为初始点，Vnew = {D},与D相连的顶点有A,B,E,F,权值最小的边是AD,即A是距离D点最近的点，所以Vnew = {A,D}.

② 下一个顶点选择距离A或D最近的点，可供选择的点有B,E,F,其中F距D为6，最近，所以选择点F,Vnew = {A,D,F}.

③ 下一个点选择距离A,D,或F最近的点，可供选择的点有B,E,G，其中B距A为6,最近，所以选择点B，Vnew = {A,D,F,B}.

④ 下一个点选择距离A,D,F或B最近的点,可供选择的点有C,E,G,其中E距B为7,最近，所以选择点E，Vnew = {A,D,F,B,E}.

⑤ 下一个点选择距离A,D,F,B或E最近的点,可供选择的点有C,G,其中C距E为5,最近，所以选择点C，Vnew = {A,D,F,B,E,C}.

⑥ 顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，所以选择E,Vnew = {A,D,F,B,E,C,G} = V.

至此完成了算法的整个过程，图中绿色的线即为找到的最小生成树。