线段树，数据结构，RMQ，分治法，最大和（Magician，HDU 5316）

题目链接：

https://vjudge.net/problem/HDU-5316

首先题目描述有问题，subsequence显然应该可以是空串，但是如果算上空串就错，不算就对。

然后就是很经典的题目了。

想起了静态和动态的连续最大和问题，静态就不说了，详见紫书P220~PP224。

动态连续最大和例题:"Ray, Pass me the dishes!"
题目链接：https://vjudge.net/problem/UVALive-3938

博客链接：http://blog.csdn.net/xl2015190026/article/details/53572974

下面我们来对比一下本题与动态连续最大和。相同点和不同点还有很多，我们主要抓住重点。

相同点：RMQ，求区间内满足特定要求的串的和，要求和最大。

不同点：本题不要求连续，但是要求所得的子序列在原来的串中必须是奇偶相间的。

             然而在动态连续最大和中，要求连续，但没有额外的要求了。

             所以唯一的区别就是：奇偶相间——连续。

这类问题一般都使用线段树+分治的方法来解决，难点在如何维护以及询问。

其实维护问题就是分治法中的合并问题，除了维护我们需要的信息外，可能还要额外维护一些其他的信息，以帮助我们合并两个子问题。

关于序列类的问题最经典的就是静态最大连续和以及动态最大连续和，分别见紫书PP220~PP224以及大白书P201。这两个例子都是子串的问题。

本题则是子序列的问题。

我们求的是最大和，显然最大和是一定要维护的。

在子串的问题中，我们不但需要维护最大和，还要维护前缀最大和，后缀最大和，以及他们的左和（或）右下标。因为子串必须是连续的，所以需要维护前缀，后缀才能进行合并，还需要他们的下标才能判断是否可以作为合并后的前缀或后缀。

而在子序列的问题中，我们不需要维护什么前缀后缀，也不需要维护下标，因为对子序列的具体位置没有要求。但是题目显然会有一些其他的限制，比如本题中的奇偶相间，此时我们就要维护一些其他的东西，比如端点下标的奇偶性，从而完成合并。

不管怎么总结，本质上都是根据限制选择维护一些东西，使得你可以正确的合并，只是子串问题太经典，值得特别提出来。

用线段树解决RMQ问题本质上是在用分治法。只不过这个分治法不是一次性的——而是通过维护一些信息，然后做到多次使用。（记忆化分治法？？？）

关于询问，我们都知道，线段树上维护的是一些固定区间的信息。但是我们要询问的往往不是这些固定的区间，所以会被线段树递归地分割成一小段一小段。

具体一点，就是说如果线段树上维护的区间跟你询问的区间完全无关，那我就返回一个特殊的信息，代表没有，这个值可以设计得足够好导致当成正常数据来合并也没问题。

如果线段树上维护的区间刚好被你询问的区间完全包含，那么就可以直接返回这个区间的信息，交给调用者进行合并。

否则，我们线段树的当前区间是没有办法处理好这个问题的，只能将问题分隔成两部分，分别交给对应的两个儿子处理，等他们处理完毕后，自己合并一下再返回给上层。

这个时候我们是没有用到当前节点储存的信息的。如果合并所需要的信息足够简单，那儿子们就可以只返回一个值，简单合并处理就返回给上层。

大部分简单的线段树RMQ问题或者利用线段树来优化都是这样的了。

但是分治类的问题的合并往往没有那么简单，可能需要儿子们传回足够详细的信息，然后再进行细致的讨论，得到一个合并后的详细信息，再传回给上层。

这时候一般返回值就是结构体了。

我们可以只在询问的时候使用结构体，而在维护的时候使用二维数组结构——简单的问题使用二维数组结构比较方便，我也更习惯这样用。

当然也可以在维护的时候也使用结构体，个人习惯问题，大同小异的。

代码

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>#include<limits.h>#define m ((l+r)>>1)#define ls (now<<1)#define rs (ls|1)using namespace std;typedef long long ll;const int maxn = 100010;const ll inf = LONG_LONG_MAX>>2;int n,q;ll tree[maxn<<2][4];struct Node{    ll val[4];    Node(){for(int i=0;i<4;i++) val[i]=-inf;}    Node(ll* a)    {        for(int i=0;i<4;i++) val[i]=a[i];    }};void maintain(int now){    for(int i=0;i<4;i++) tree[now][i]=max(tree[ls][i],tree[rs][i]);    tree[now][0]=max(tree[now][0],tree[ls][0]+tree[rs][2]);    tree[now][0]=max(tree[now][0],tree[ls][1]+tree[rs][0]);    tree[now][1]=max(tree[now][1],tree[ls][0]+tree[rs][3]);    tree[now][1]=max(tree[now][1],tree[ls][1]+tree[rs][1]);    tree[now][2]=max(tree[now][2],tree[ls][2]+tree[rs][2]);    tree[now][2]=max(tree[now][2],tree[ls][3]+tree[rs][0]);    tree[now][3]=max(tree[now][3],tree[ls][2]+tree[rs][3]);    tree[now][3]=max(tree[now][3],tree[ls][3]+tree[rs][1]);}void build(int l,int r,int now){    if(l==r)    {        for(int i=0;i<4;i++) tree[now][i]=-inf;        int tp;        scanf("%d",&tp);        if(l&1) tree[now][0]=tp;        else tree[now][3]=tp;        return;    }    build(l,m,ls);    build(m+1,r,rs);    maintain(now);}void update(int l,int r,int now,int pos,int val){    if(l==r)    {        for(int i=0;i<4;i++) tree[now][i]=-inf;        if(l&1) tree[now][0]=val;        else tree[now][3]=val;        return;    }    if(pos<=m) update(l,m,ls,pos,val);    else update(m+1,r,rs,pos,val);    maintain(now);}Node qry(int l,int r,int now,int ql,int qr){    if(r<ql||l>qr) return Node();    if(ql<=l&&r<=qr) return Node(tree[now]);    Node left = qry(l,m,ls,ql,qr);    Node right = qry(m+1,r,rs,ql,qr);    Node ret;    for(int i=0;i<4;i++) ret.val[i]=max(left.val[i],right.val[i]);    ret.val[0]=max(ret.val[0],left.val[0]+right.val[2]);    ret.val[0]=max(ret.val[0],left.val[1]+right.val[0]);    ret.val[1]=max(ret.val[1],left.val[0]+right.val[3]);    ret.val[1]=max(ret.val[1],left.val[1]+right.val[1]);    ret.val[2]=max(ret.val[2],left.val[2]+right.val[2]);    ret.val[2]=max(ret.val[2],left.val[3]+right.val[0]);    ret.val[3]=max(ret.val[3],left.val[2]+right.val[3]);    ret.val[3]=max(ret.val[3],left.val[3]+right.val[1]);    return ret;}void init(){    scanf("%d %d",&n,&q);    build(1,n,1);}void solve(){    init();    int a,b,c;    while(q--)    {        scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);        if(a==1) update(1,n,1,b,c);        else        {            Node ans = qry(1,n,1,b,c);            ll val=-inf;            for(int i=0;i<4;i++) val=max(val,ans.val[i]);            //val=max(val,0ll);            printf("%lld\n",val);        }    }}int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--) solve();    return 0;}