计算几何-求线段交点算法和代码（C++语言）

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问题描述：已知两条线段P1P2和Q1Q2，判断P1P2和Q1Q2是否相交，若相交，求出交点。

两条线段的位置关系可以分为三类：有重合部分、无重合部分但有交点、无交点。

算法核心

算法的步骤如下：

1.快速排斥实验。

设以线段P1P2为对角线的矩形为R，设以线段Q1Q2为对角线的矩形为T，如果R和T不相交，则两线段不相交。

所以P1P2和Q1Q2相交的必要条件是以他们为对角线的矩形相交，即：

min(p1.x,p2.x) <= max(q1.x,q2.x) &&min(q1.x,q2.x) <= max(p1.x,p2.x) &&min(p1.y,p2.y) <= max(q1.y,q2.y) &&min(q1.y,q2.y) <= max(p1.y,p2.y);

2.跨立实验。

如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方。
线段的跨立究竟是什么意思？向量的跨立是什么意思？

a、若P1P2跨立Q1Q2，则矢量(P1-Q1)和(P2-Q1)位于矢量(Q2-Q1)的两侧，即( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) < 0。

等价于
(Q1.x-P1.x,Q1.y-P1.y) × ( Q1.x-Q2.x,Q1.y-Q2.y ) * ( Q1.x-P2.x,Q1.y-P2.y ) × ( Q1.x-Q2.x,Q1.y-Q2.y ) < 0
等价于
((Q1.x-P1.x)*(Q1.y-Q2.y)-(Q1.y-P1.y)*( Q1.x-Q2.x)) * ((Q1.x-P2.x)*(Q1.y-Q2.y)-(Q1.y-P2.y)*(Q1.x-Q2.x)) < 0

b、若Q1Q2跨立P1P2，则矢量(Q1-P1)和(Q2-P1)位于矢量(P2-P1)的两侧，即( Q1 - P1 ) × ( P2 - P1 ) * ( Q2 - P1 ) × ( P2 - P1 ) < 0。
等价于
(P1.x-Q1.x,P1.y-Q1.y) × ( P1.x-P2.x,P1.y-P2.y ) * ( P1.x-Q2.x,P1.y-Q2.y ) × ( P1.x-P2.x,P1.y-P2.y ) < 0
等价于
((P1.x-Q1.x)*(P1.y-P2.y)-(P1.y-Q1.y)*(P1.x-P2.x)) * ((P1.x-Q2.x)*(P1.y-P2.y)-(P1.y-Q2.y)*( P1.x-P2.x)) < 0

a和b两个不等式同时满足时即可判断两条线段相交。

排斥实验和跨立实验的示例如下图所示。

代码

//跨立判断bool isLineSegmentCross(const Point &P1,const Point &P2,const Point &Q1,const Point &Q2){    if(        ((Q1.x-P1.x)*(Q1.y-Q2.y)-(Q1.y-P1.y)*( Q1.x-Q2.x)) * ((Q1.x-P2.x)*(Q1.y-Q2.y)-(Q1.y-P2.y)*(Q1.x-Q2.x)) < 0 ||        ((P1.x-Q1.x)*(P1.y-P2.y)-(P1.y-Q1.y)*(P1.x-P2.x)) * ((P1.x-Q2.x)*(P1.y-P2.y)-(P1.y-Q2.y)*( P1.x-P2.x)) < 0    )         return true;    else       return false;}

3.计算交点。

当判定两条线段相交后，可以进行交点的求解，求交点可以用平面几何方法，列点斜式方程来完成。但由于点斜式方程难以处理斜率为0的特殊情况，不方便求解。因而，参用向量法求解交点。

设交点为(x0,y0)，则下列方程组成立：

根据以上方程组，消除参数k1和k2，得到如下方程：

然后求解(x0,y0)，结果如下所示：

#include<stdio.h>#define N 10002/**算法适用于整形点，不适用于浮点型 **/typedef struct Point{    int x;    int y;}Point;double min(int x, int y){    return x<y?x:y;}double max(int x, int y){    return x>y?x:y;}//排斥实验bool IsRectCross(const Point &p1,const Point &p2,const Point &q1,const Point &q2){    bool ret = min(p1.x,p2.x) <= max(q1.x,q2.x)    &&                min(q1.x,q2.x) <= max(p1.x,p2.x) &&                min(p1.y,p2.y) <= max(q1.y,q2.y) &&                min(q1.y,q2.y) <= max(p1.y,p2.y);    return ret;}/**这段代码不能得到正确答案，故注释//跨立判断bool IsLineSegmentCross(const Point &pFirst1,const Point &pFirst2,const Point &pSecond1,const Point &pSecond2){    long line1,line2;    line1 = pFirst1.x * (pSecond1.y - pFirst2.y) +        pFirst2.x * (pFirst1.y - pSecond1.y) +        pSecond1.x * (pFirst2.y - pFirst1.y);    line2 = pFirst1.x * (pSecond2.y - pFirst2.y) +        pFirst2.x * (pFirst1.y - pSecond2.y) +         pSecond2.x * (pFirst2.y - pFirst1.y);    if (((line1 ^ line2) >= 0) && !(line1 == 0 && line2 == 0))        return false;    line1 = pSecond1.x * (pFirst1.y - pSecond2.y) +        pSecond2.x * (pSecond1.y - pFirst1.y) +        pFirst1.x * (pSecond2.y - pSecond1.y);    line2 = pSecond1.x * (pFirst2.y - pSecond2.y) +         pSecond2.x * (pSecond1.y - pFirst2.y) +        pFirst2.x * (pSecond2.y - pSecond1.y);    if (((line1 ^ line2) >= 0) && !(line1 == 0 && line2 == 0))        return false;    return true;}**///跨立判断bool IsLineSegmentCross(const Point &P1,const Point &P2,const Point &Q1,const Point &Q2){    if(        ((Q1.x-P1.x)*(Q1.y-Q2.y)-(Q1.y-P1.y)*( Q1.x-Q2.x)) * ((Q1.x-P2.x)*(Q1.y-Q2.y)-(Q1.y-P2.y)*(Q1.x-Q2.x)) < 0 ||        ((P1.x-Q1.x)*(P1.y-P2.y)-(P1.y-Q1.y)*(P1.x-P2.x)) * ((P1.x-Q2.x)*(P1.y-P2.y)-(P1.y-Q2.y)*( P1.x-P2.x)) < 0    )         return true;    else       return false;}/**求线段P1P2与Q1Q2的交点。先进行快速排斥实验和跨立实验确定有交点再进行计算。交点（x,y）使用引用返回。没有验证过**/bool GetCrossPoint(const Point &p1,const Point &p2,const Point &q1,const Point &q2,long &x,long &y){    if(IsRectCross(p1,p2,q1,q2))    {        if (IsLineSegmentCross(p1,p2,q1,q2))        {            //求交点            long tmpLeft,tmpRight;            tmpLeft = (q2.x - q1.x) * (p1.y - p2.y) - (p2.x - p1.x) * (q1.y - q2.y);            tmpRight = (p1.y - q1.y) * (p2.x - p1.x) * (q2.x - q1.x) + q1.x * (q2.y - q1.y) * (p2.x - p1.x) - p1.x * (p2.y - p1.y) * (q2.x - q1.x);            x = (int)((double)tmpRight/(double)tmpLeft);            tmpLeft = (p1.x - p2.x) * (q2.y - q1.y) - (p2.y - p1.y) * (q1.x - q2.x);            tmpRight = p2.y * (p1.x - p2.x) * (q2.y - q1.y) + (q2.x- p2.x) * (q2.y - q1.y) * (p1.y - p2.y) - q2.y * (q1.x - q2.x) * (p2.y - p1.y);             y = (int)((double)tmpRight/(double)tmpLeft);            return true;        }    }    return false;}

代码2-线段求交模板
http://www.cppblog.com/wicbnu/archive/2009/08/24/94225.html

#include <stdio.h>#include <math.h>const int N = 100010;int mark[N];struct Point{    double x,y;};struct stline{    Point a,b;} line1,line2, p[N];int dblcmp(double a,double b){    if (fabs(a-b)<=1E-6) return 0;    if (a>b) return 1;    else return -1;}//***************点积判点是否在线段上***************double dot(double x1,double y1,double x2,double y2) //点积{    return x1*x2+y1*y2;}int point_on_line(Point a,Point b,Point c) //求a点是不是在线段bc上，>0不在，=0与端点重合，<0在。{    return dblcmp(dot(b.x-a.x,b.y-a.y,c.x-a.x,c.y-a.y),0);