哈夫曼编码

今天看到一些有关树的知识，又想起了哈夫曼树，但是又忘了具体的，真是让人惆怅。于是翻开《大话数据结构》这本书重温一遍，跟着作者重温哈夫曼树和哈夫曼编码。

哈夫曼树的定义：带权路径长度的 WPL 最小的二叉树称为哈夫曼树。
假设我们现在有 A B C D E ，权值分别为 5，15，40，30，10
什么是带权路径长度？我们先看两张图：

我们先看一下什么叫路径长度：从树的一个结点到另一个结点之间的分支构成两个结点之间的路径，路径上的分支数目称作路径长度。
图一中根节点到结点D的路径长度为 4，二叉树的路径长度为 ：
1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 20 。
图二中根节点到结点 D 的路径长度为 2 ，二叉树的长度为 ：
1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 = 16 。
带权路径长度就是对应的路径长度跟结点上权值的积。
图一根结点 到 结点D 的带权路径值为 5*4 = 20，图二根节点到结点D的带权路径值为 5*2 = 10。

我们现在可以分别计算图一跟图二带权路径的长度，图一：
WPL = 5*1 + 15*2 + 40*3 + 30*4 + 10*4 = 315 。
图二：WPL = 5*3 + 15*3 + 40*2 + 30*2 + 10*2 = 220 。
图二的带权路径长度明显比普通二叉树小。我们要做的就是构造一棵使得WPL最小的二叉树。

接下来就是该如何去构造哈夫曼树：
1.我们把带权值的子节点按权值 递增排序，如上面的例子，可以排序：
A5 ， E10 ， B15 ， D30 ， C40 。
2.取头两个权值最小的节点 A 和 E 作为一个新节点 N1 的两个子节点，权值小的位左子节点，大的为由子节点
3. 用 N1 代替 A 和 E 插入序列中，变成 N1，B，D，C
4. 重复步骤2 和 3

最终得到哈夫曼树！

WPL = 5*4 + 10*4 + 15*3 + 30*2 + 40*1= 205

哈夫曼树的主要应用则是哈夫曼编码，主要是为了解决当年的远程通信优化问题，使用哈夫曼编码可以缩减文本文件的大小。