矩阵的加法、乘法、转置、求逆、行列式

• 矩阵运算 及 md表示 记录
• python需要用到的库 numpy
  
  • import numpy as np

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矩阵加法

• 两个 相同维数 矩阵的加法可以通过对应元素的相加得到， aij+bij

{142536}+{475869}={511713915}

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矩阵乘法

• 定义 设矩阵 A=(aij)m×n, B=(bij)s×n ，那么 矩阵A 与 矩阵B 的乘积是一个 m×n 矩阵C=(cij)m×n ，其中 cij=ai1b1j+ai2b2j+...+aisbsj=∑sk=1aikbkj

• 只有当 矩阵A 的 列数 等于 矩阵B 的 行数 时，两个矩阵才能相乘

• 例如
  

  C=A×B={142536}×⎧⎩⎨⎪⎪123456⎫⎭⎬⎪⎪={1x1+2x2+3x34x1+5x2+6x31x4+2x5+3x64x4+5x5+6x6}={14323277}

• python代码测试

  def matTest2():  ma = [[1, 2, 3],      [4, 5, 6]]  ma = np.mat(ma) # 转为ndarray对象，矩阵化  mb = [[1, 4],      [2, 5],      [3, 6]]  mb = np.mat(mb)  mc = ma.dot(mb) # 矩阵乘法  print(mc)  pass结果[[14 32][32 77]]

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转置矩阵

• 定义：把矩阵 A 的 行列互换 所得到的矩阵称为 原矩阵 的 转置矩阵，以 AT 表示。

• 即 A=(aij)m×n ， AT=(aji)n×m

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  A=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a11a21⋮am1a12a22⋮am1⋯⋯⋱⋯a1na21⋮amn⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪,AT=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋱⋯am1am2⋮anm⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

• 例如：
  

  A={142536},AT=⎧⎩⎨⎪⎪123456⎫⎭⎬⎪⎪

• python代码测试

  def matTest3():  ma = [[1, 2, 3],      [4, 5, 6]]  ma = np.mat(ma)  mb = ma.T #矩阵转置  print(mb)  pass结果[[1 4][2 5][3 6]]

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矩阵求逆

• 定义：一个n阶 方阵A 称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶 方阵B，使得 A×B=B×A=E 并称B是A的一个 逆矩阵。不可逆的矩阵称为 奇异矩阵。A 的逆矩阵记作 A−1。且 A×A−1 得到的矩阵为 对角线元素全为1，其他元素全为0

• 例如：
  

  A={−241−3},B=⎧⎩⎨−32−2−12−1⎫⎭⎬
  A×B={−241−3}×⎧⎩⎨−32−2−12−1⎫⎭⎬={1001}

• 所以判断两个矩阵是否为互逆矩阵，直接相乘即可判断

• 性质：

  1. 可逆矩阵一定是方阵。
  2. （唯一性）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
  3. A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作 (A−1)−1=A
  4. 可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且 (AT)−1=(A−1)T (转置的逆等于逆的转置）
  5. 若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。
  6. 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
  7. 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

• python代码测试

  def matTest4():  ma = [[-2, 1],      [4, -3]]  ma = np.mat(ma)  mb = np.linalg.inv(ma) # 矩阵求逆  print(mb)  mc = ma.dot(mb)  print(mc)  pass结果[[-1.5 -0.5][-2.  -1. ]][[ 1.  0.][ 0.  1.]]

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矩阵行列式

1. 对角线展开
   

   二阶：{a1a2b1b2}=a1b2−a2b1
   三阶：⎧⎩⎨⎪⎪a1a2a3b1b2b3c1c2c3⎫⎭⎬⎪⎪=a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3−a3b2c1−b3c2a1−c3a2b1

2. 降阶展开（适合高阶行列式）
   

   按第一阶展开：⎧⎩⎨⎪⎪a1a2a3b1b2b3c1c2c3⎫⎭⎬⎪⎪=a1×{b2b3c2c3}−b1×{a2a3c2c3}+c1×{a2a3b2b3}
   按中阶展开：⎧⎩⎨⎪⎪a1a2a3b1b2b3c1c2c3⎫⎭⎬⎪⎪=b2×{a1a3c1c3}−a2×{b1b3c1c3}+c2×{a1a3b1b3}

3. python代码测试

   def matTest5():   ma = [[1, 2],      [1, 3]]   ma = np.mat(ma)   mb = np.linalg.det(ma)   print(mb)   mf = [[1, 2, 3],      [4, 5, 6],      [7, 8, 9]]   mf = np.mat(mf)   me = np.linalg.det(mf)   print(me)结果1.06.66133814775e-16

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附_矩阵的markdown表示

$$\left\{ \begin{matrix}   1 & 2 & 3 \\   4 & 5 & 6 \\   7 & 8 & 9  \end{matrix}  \right\} \tag{2}$$

⎧⎩⎨⎪⎪147258369⎫⎭⎬⎪⎪(2)

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$$\begin{Bmatrix}   1 & 2 & 3 \\   4 & 5 & 6 \\   7 & 8 & 9  \end{Bmatrix} \tag{5}$$

⎧⎩⎨⎪⎪147258369⎫⎭⎬⎪⎪(5)

$$\left[ \begin{matrix}   1 & 2 & 3 \\   4 & 5 & 6 \\   7 & 8 & 9  \end{matrix}  \right] \tag{3}$$

⎡⎣⎢147258369⎤⎦⎥(3)

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$$\begin{bmatrix}   1 & 2 & 3 \\   4 & 5 & 6 \\   7 & 8 & 9  \end{bmatrix} \tag{4}$$

⎡⎣⎢147258369⎤⎦⎥(4)

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$$\left[\begin{matrix} 1      & 2      & \cdots & 4      \\ 7      & 6      & \cdots & 5      \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 8      & 9      & \cdots & 0      \\\end{matrix}\right]  \tag {6}$$

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢17⋮826⋮9⋯⋯⋱⋯45⋮0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥(6)

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$$\left[    \begin{array}{cc|c}      1 & 2 & 3 \\      4 & 5 & 6    \end{array}\right] =>\left[    \begin{array}{cc|c}      1 & 2 & 3 \\      4 & 5 & 6    \end{array}\right] \tag{7}$$

[142536]=>[142536](7)

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我们使用矩阵 $\bigl( \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \bigr)$ 作为因子矩阵，将其...

我们使用矩阵 (acbd) 作为因子矩阵，将其…