能量项链——动态规划

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题目来源

洛谷p1063

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题目描述

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为m*r*n（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=10*2*3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

输入输出格式

输入格式：
输入的第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i < N< span>时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式：
输出只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*10^9），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

输入输出样例

输入样例#1：
4
2 3 5 10
输出样例#1：
710

说明

NOIP 2006 提高组 第一题

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解题思路

• 首先简化一下问题：
  
  • 假设只有两个能够构成环的能量珠，他们分别是 （a，b）（b,a）
  • 如果a > b，那么用 a * b * a 来作为他的能量值肯定比用 b * a * b 作为他的能量值更优
  • 由于合并操作并不会增加新的数据，那么如果找到这组数据的最大值，并使其作为两端的元素肯定是最优的结果，如果数据中存在多组最大值则需要计算每一组最大值所得到的最大能量值，最后进行比较。
• 确定两端元素之后，则需要枚举中间的分割点，对分割点左右的数据求最大能量值，将其左右的最大能量值相加后加上此次合并的能量值的最大值作为此次分割的最大值
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源代码

#include<cstdio>#include<iostream>#include<sstream>using namespace std;long long F[205][205];int data[205];int in[205];int n;int getEnd(int id){//确定编号为 id 的能量珠的尾元素    if(id < n) // 尾元素为下一能量珠的首元素        return data[id + 1];    return data[1]; // 尾元素为第一个能量珠的首元素}void dp(int begin,int end){ // 求 begin 到 end 的最大值    if(F[begin][end]) // 如果已经计算过        return; // 返回    if(begin == end){ // 如果只包含一个能量珠        F[begin][end] = 0; // 一个能量珠无法合并，所以最大值为0        return;    }    for(int id = begin + 1;id <= end;id++){ // 枚举begin 到 end 中的所有分割点        dp(begin,id - 1); // 求分割点左侧的最大值        dp(id,end); // 求分割点右侧的最大值        F[begin][end] = max(F[begin][end],F[begin][id - 1] + F[id][end] + data[begin] * data[id] * getEnd(end)); // data[begin] * data[id] * getEnd(end)是此次合并所增加的能量值     }}int main(){//  freopen("in.txt","r",stdin);//  freopen("out.txt","w",stdout);    cin >> n;    int max = -1; // 寻找最大值    for(int i = 1;i <= n;i++){        scanf("%d",&in[i]);        if(in[i] > max)            max = in[i];    }    long long ans = 0;    for(int i = 1;i <= n;i++){        if(in[i] == max){ // 对每一个最大值计算一次最大能量值            for(int j = i;j <= n;j++)                data[j - i + 1] = in[j];            for(int j = 1;j < i;j++)                data[n - i + j + 1] = in[j];            for(int i = 1;i <= n;i++)            dp(1,n);            if(F[1][n] > ans) // 将所有的能量值取最大值作为最后的结果                ans = F[1][n];        }    }    cout << ans;    return 0;}